現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/10/30(日) 14:06:40.31

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/05(土) 20:58:15.50

>>143

R^NのＮの定義と決定番号の集合をどう考えるか？
その定義と、無限定な時枝記事の「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.」>>114
「問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.」>>115
との整合性が求められる

これは、>>135に書いたように、N→100×Nと100×N→Nと両方可能だろうと
この文脈でR^NのＮの定義と決定番号の集合をどう考えるか？

当然、Ｎは>>106引用の可算無限集合
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88
(抜粋)
定義
可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう。
(引用終り)

にあるとおり、Ｎは自然数全体の集合であり、可算無限集合そのもの
それは、>>116に引用したデデキント無限と考えれば、>>51に引用したヒルベルトの無限ホテルのパラドックスが成立するから、話はあう

では、決定番号の集合は？　決定番号の集合をＫとしよう。
任意のｎ∈Ｎに対し、必ずｎ∈Ｋとできる。
∵ある無限数列、a=(a1,a2,・・・,an-1,an,a+1,*****)に対し、a'=(a1,a2,・・・,bn-1,an,a+1,*****) (つまりan-1≠bn-1で、 *****はしっぽの一致を表す)
　 aの同値類で、a'を代表とすれば、決定番号はｎで、ｎ∈Ｋ

なので、Ｎ→Ｋの単射が存在するから、Ｎ⊆Ｋ
つまり、Ｎが可算無限を認めるなら、Ｋは可算無限

決定番号の集合が、可算無限集合を認めるならば、決定番号は必ず有限は言えないだろう
（そう言いたいのは分かるが、それと、N→100×Nとは両立しないよ）

**１３２人目の素数さん** · 2016/11/05(土) 21:07:42.75

>>149
> つまり、Ｎが可算無限を認めるなら、Ｋは可算無限
>
> 決定番号の集合が、可算無限集合を認めるならば、決定番号は必ず有限は言えないだろう

スレ主の脳内：
決定番号の集合Kが上に有界でない→決定番号は有限値とは言えない

だせー間違いだなおいｗ

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/05(土) 21:09:58.55

>>149 補足

>>149はそもそも>>143の(1)決定番号が有限の値の場合に対する批判だが
（つまり、（キマイラでない）通常の数列の場合でも、必ず有限とは言えない）

”(2)決定番号が無限大になった場合
決定番号より小さい添字を持つ数列はN1であるから数列A=N1(+)N2から通常の数列N1を得ることができる
N1を用いて決定番号を求めれば有限の値が得られる”

も意味わからん

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/05(土) 21:12:01.95

>>150

ああ、そうだね
間違いだね
言い直そう

Ｋは可算無限、Ｎと同じく可算無限
それで話は合うだろ？

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/11/05(土) 21:21:39.91

>>152 補足

コンパクト性定理があるから（下記）、超準自然数系を考えても良いが、いまはそれは仮定していないからね
普通の自然数に無限大自然数は含まれないね

http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20051207
2005-12-07 - 檜山正幸のキマイラ飼育記
(抜粋)
●コンパクト性定理

モデル論の「コンパクト性定理」とは、論理式の集合Aがモデルを持つかどうかに関する主張である。

・Aの任意の有限部分集合がモデルを持つ ⇔ Aがモデルを持つ

これは、Aが有限のときは面白くない。論理式の無限集合に対して成立するのがすごいところだ。

論理式の集合が「矛盾する」とはモデルを持たないことだと“定義”すれば、コンパクト性定理は次のことを言っている。

・Aが矛盾する ⇔ Aの有限部分集合で矛盾するものがある

つまり、矛盾が生じる原因が「公理が無限個だから」ということではなくて、無限のなかの有限個で既に矛盾が生じているのである。矛盾の原因を有限個の論理式として（超越的／原理的には）特定できることになる。

応用としては、例えば、普通の自然数に加えて無限大自然数をたくさん（ものすごくたくさん）入れても、矛盾なく自然数概念が定義できる（モデルが存在する）、とかを示せる。こうしてできるモデルは、超準自然数系だが、実際に構成するにはウルトラフィルター／ウルトラ積を使う。

コンパクト性定理そのものを示すにもウルトラフィルターを使ったと思う。チコノフの定理も確かウルトラフィルターを使う証明があったような気がする（記憶が曖昧）。コンパクト性はウルトラフィルターで表現するのが自然なのかもしれない。
(引用終り)