0498１３２人目の素数さん2021/11/24(水) 00:09:24.46ID:cUOVrA71
>>497
つづき
いま、下記の砂田利一先生の「実無限」と「可能無限」の意味を少しもじって
可能無限：限りがないという状態で、nに対しn+1（つまり後者）がずっと続く状態
実無限：無限集合N＝ωが出来た状態（例えば無限公理を使って）
としよう
N＝ω＝{0,1,2・・n・・}は、実無限
カッコ{}を外すと、0,1,2・・n・・ は、可能無限
この区別がついていない
0,1,2・・n・・ なる可能無限状態は厳然と存在する。それは、古代ギリシャの昔からね
わざわざ無限公理を使うのは、現代数学が古代ギリシャを超えて進んでいくためです
0,1,2・・n・・ なる可能無限状態が、理解できない人がいる
その人は、現代数学が理解できず、よって古代ギリシャをさえ超えられないことになるよｗ
(>>334より再録)
https://mathsoc.jp/publication/tushin/2104/2016sunada.pdf
数学の発展と展望?
明治大学総合数理学部
砂田 利一
この文章は 2016 年 9 月 19 日に関西大学で行った日本数学会 70 周年記念講演に基づいている．
2 無限の概念
ここで，カントルの理論の背景にある，無限概念についての歴史を振り返ろう．
無限を最初に扱ったのは，古代ギリシャのアナクシマンドロス（前 610 頃?前 546 頃）
である．彼は「アペイロン」（限りがない）という概念を導入し，それを万物の根源（ア
ルケー）とした．その後アナクサゴラス（前 510 頃?前 428 頃）により「無限大，無限小」
について語られたが，19 世紀後半まで歴史の中で大きな影響を与えたのはアリストテレ
ス（前 384?前 355）である．彼は，無限には「実無限」と「可能無限」の 2 種類があっ
て，可能無限は認められるが，実無限は存在しないと考えた．カントルの集合論は，ま
さにアリストテレスに対するアンチテーゼなのである．
念のため，「実無限」と「可能無限」の意味を与えておく．
可能無限：無限を把握出来るのは，限りがないということを確認する操作が
存在していることだけで，無限全体というのは認識出来ないとする立場
実無限：無限の対象の全体性を把握して，無限が実際に存在しているとする立場
(引用終り)
以上 0499１３２人目の素数さん2021/11/24(水) 00:59:41.34ID:2e1NyAsX
>>497
言葉を理解しないアホがまたトンデモ論を繰り返してる
アホは発言禁止 アホに人権があるとでも思ってるのか？甘えるな 0500１３２人目の素数さん2021/11/24(水) 01:10:43.36ID:2e1NyAsX
>>497
>これが良いとか悪いとか
>全くおかしな議論です
だれも無限も"…"表記も否定していない。
否定してるのは無限重シングルトンが集合であるというトンデモ論。
あなた言葉が分かりませんか？発達障害ですか？
>そもそもが、無限公理まで導入して、無限集合たる自然数Nを作ったのは
>全ての自然数を尽くす列 0, 1, 2,･･,n-1･･･ を作るためだったはず
はい、落第。
無限公理が存在を主張してるのはある無限集合であって数列ではない。
口きく前に公理くらい確認しなさいよ。三歳児かよ。
>（それが出来れば、整数環Z→有理数体Q→(Qのコーシー列から)実数体R が構築できるのです）
意味不明。 0501１３２人目の素数さん2021/11/24(水) 01:22:20.53ID:2e1NyAsX
>>497
>多重シングルトン関数 fsz：n→{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n n∈N+ω とする（N：自然数の集合）
>対応は
>数→ Zermelo → Neumann
>0重 : {}0 → {}(注：{}0＝{}＝φで空集合)
>1重 : {{}0}1 → {0}
>2重 : {{{}0}1}2 → {0, 1}
>3重 :{{{{}0}1}2}3 → {0, 1, 2}
>・
>・
>n重 :{･･{{{}0}1}2･･} → {0, 1, 2,･･,n-1}
>・
>・
>ω重 :{･･･{{{}0}1}2･･･}ω → {0, 1, 2,･･,n-1･･･} (注：･･･の部分は全ての自然数を尽くす)
{･･･{{{}0}1}2･･･}ωの元xを答えよ
xが集合であることを示せ
x={･･･{{{}0}1}2･･･}ω-1とでも答えるんか？
ω-1なんてありませんけど？ ωは極限順序数ですから 後続順序数ではないですから まだ分からないんですか？ バカですねえ
当然xは集合ではありません。よって{･･･{{{}0}1}2･･･}ωも集合ではありません。
公理的集合論では集合以外の元は許されませんから。 まだ分からないんですか？ バカですねえ 0502１３２人目の素数さん2021/11/24(水) 01:40:13.16ID:2e1NyAsX
>>498
>0,1,2・・n・・ なる可能無限状態が、理解できない人がいる
>その人は、現代数学が理解できず、よって古代ギリシャをさえ超えられないことになるよｗ
妄想で「理解できない人」をでっち上げてマウントするバカｗ
君、人格障害でしょ 精神病院行った方がいいよ >>492
＞例えば、有限小数の世界では、”0.99999…は１ではない”よね
有限小数の世界では、そもそも0.99999…がないよねｗ
全部0.9…9 云ってる意味、わかるかな？
＞−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
＞数列 0.9, 0.99, 0.999, … の超冪構成に関する
＞同値類 [(0.9, 0.99, 0.999, …)] は 1 より無限小だけ小さい
＞−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
＞さて、その上で、上記(超実数)を有限小数環で説明しよう
まーた、「誰もが知ってる話」に「自分勝手な独善主張」を接ぎ木した
ペギオ論法の始まりか？
そもそも
コーシー列による同値関係と超積の同値関係は
違うってこと理解してるか？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E7%A9%8D
>>493
＞有限小数環Z[10^-1] ⊂ 実数体R
＞ちょうど
＞多項式環K[X] ⊂ 冪級数環A[[X]]
＞に対応した数学的対象を考えることができるのです
おまえ、その比喩大好きだなｗ
それしか、持ちネタないの？
>>494-495
SET Aは定義確認しないからダメだよ
>>496
ここでは数列の項の添数は自然数に限定
つまり数Ｓの数列はＮ→Ｓという写像 ま〜た中卒SET A君が珍奇なこといいだしたよｗ
>>497-498
＞可能無限：限りがないという状態で、nに対しn+1（つまり後者）がずっと続く状態
＞実無限：無限集合N＝ωが出来た状態（例えば無限公理を使って）
＞N＝ω＝{0,1,2・・n・・}は、実無限
＞カッコ{}を外すと、0,1,2・・n・・ は、可能無限
＞この区別がついていない
いいたいことはこういうことかね？
■可能無限
0,1,2・・n・・のそれぞれは存在するが、
上記全体の集まりは存在しない
■実無限
0,1,2・・n・・全体の集まり
{0,1,2・・n・・}が存在する
で、問題は君のいう
ω重 :{･･･{{{}0}1}2･･･}ω
が、実無限の立場を認めれば、集合として存在するか？
という点だが・・・答えは否だｗ
実無限の立場では
{{},{{}},{{{}}},…}
は集合として存在する
一方
{･･･{{{}}}･･･}
は、それ自体は要素･･･{{{}}}･･･を持つが
･･･{{{}}}･･･が要素を持ちえず、
さりとて空集合ではないので集合ではない
集合論ではその要素は集合でなければならないから
{･･･{{{}}}･･･}は集合ではなぁぁぁぁい！
残念でしたぁぁぁぁ
ほんと、集合論の初歩からつまづいてるんだねえ 中卒SET A君は >>499-502
中卒SET A君は
「ボクのむげんしんぐるとんは無敵なんだぁぁぁぁ！」
とわめく３歳児なんで何をいっても無駄かと
＞だれも無限も"…"表記も否定していない。
そうだね でも彼にはそうは聞こえないｗ
＞否定してるのは無限重シングルトンが集合であるというトンデモ論。
そうだね でも彼にとっては「無限重シングルトン」が全てだから
それを否定されたら彼の全人格が否定されたことになるので
うけいれられない 要するに中卒SET Aは💨違いってことｗ
SET A君は･･･{{{}0}1}2･･･と{}0,{{}0}1,{{{}0}1}2,…の違いが
分かってないのよ、
無限個の元{}0,{{}0}1,{{{}0}1}2,…を
一個の･･･{{{}0}1}2･･･にまとめられない
ってことがね
そんなことができるとしたら
最大元のない列から、最大元を取り出せちゃう
それが矛盾だって気づかないところが
論理のわからぬ中卒なんだな SET Aは
箱入り無数目の「決定番号∞」も実は同じ過ちなんだね
自然数の中に存在しない「最大元」∞を
勝手に脳内ででっち上げちゃう
要するに
「自然数の有限集合では最大元が存在するから
自然数の無限集合でも同様の性質が成り立つ
それがコンパクト化ぁぁぁぁぁ！！！」
と間違ったコンパクト性の理解をしてるんだな 0506１３２人目の素数さん2021/11/24(水) 10:31:17.19ID:HJUvJshW
>>503
> おまえ、その比喩大好きだなｗ
>それしか、持ちネタないの？
数学的価値皆無な比喩ですけどねw 0507１３２人目の素数さん2021/11/24(水) 11:24:41.36ID:oWCw2TF7
>>503
＞ここでは数列の項の添数は自然数に限定
＞つまり数Ｓの数列はＮ→Ｓという写像
よくわからんけど「0,1,2,…,7 なる数列」だったらどうなるん？
それも存在しないん？ >>503
遂に安達の爺様に続いてSetAまで0.999…999ではなく0.999…を有限小数と言い始めよったたのう､
やはり「迸る俺流」一員じゃな｡
(安達+高木)/2≒SetA SET Aの(似非)数学的帰納法による0.999…＜１の(似非)証明
「有限小数で
0.9＜１
0.99＜１
0.999＜１
･･･
だから無限小数でも
0.999…＜１！」
0510１３２人目の素数さん2021/11/29(月) 02:31:04.44ID:RvVkAwPJ
>>490
そうですね。
実数Rの真部分集合(0,1)の任意の元を自然数で附番できたと仮定する。
第n元は二進小数で0.(xn1)(xn2)(xn3)…、xni∈{0,1} と表せる。
xni'≠xniと定義したとき、
(0,1)の元0.(x11')(x22')(x33')… は附番されたどの元とも異なる。
なぜなら、小数第1位が第1元と異なり、小数第2位が第2元と異なり、小数第3位が第3元と異なり、・・・。
これは仮定と矛盾するから仮定は偽。
よって(0,1)のどの元も含むような数列 s:N→(0,1) は存在しない。
対角線論法と数列の定義を知ってれば造作もない証明。
「整列集合の任意の元からなる数列が存在する」なんて言ってる人に単位出すのはインチキ大学でしょう。 0513１３２人目の素数さん2021/12/04(土) 11:13:13.23ID:2fTR6PCi
なんも分かってないっつーても限度があるやろ
対偶も分からんって中卒かい
>>509
そんな奴だからSetAは無限重シングルトン解釈トンデモ妄想 >>509
そんな奴だからSetAは無限重シングルトン解釈トンデモ妄想｡
有限と無限の分別も付けないSetAは自らの似非帰納法が
「1は有限値
2は有限値
3は有限値
…
だから
∞も有限値！｣
と言ってるのと同じである事に気付いてない｡
そんな奴だから0.999…を有限小数として扱うわけ（SetA前歴実話）だ｡ 嘘を平然と語る人達
・SetA
・『学問』『バカボンパパ』
・高木ゲェジ
0517１３２人目の素数さん2021/12/05(日) 09:10:16.37ID:SVbdAHZX
0518１３２人目の素数さん2021/12/05(日) 17:00:06.46ID:SVbdAHZX
0519１３２人目の素数さん2021/12/05(日) 19:33:51.03ID:iG+iWKsx
自然数と順序数の違いが分からない発達障害
何の学術的裏付けも無さそうなレスありがとうございます
反知性主義さん
もっとお勉強しましょうね
0523１３２人目の素数さん2021/12/07(火) 08:36:07.37ID:Z1Ij38kG
>>517
＞レーヴェンハイム・スコーレムの定理は
＞超準有限シングルトンの存在を認めるだけであって
違うんじゃね
独自説だろ 0524１３２人目の素数さん2021/12/07(火) 09:32:59.48ID:cltX9XJ0
独自説はセタの「有限で成り立つことは無限でも成り立つ」だよ
安達爺は無限を受け入れられない
セタは無限を理解出来ない
>>524
レーヴェンハイム-スコーレムが分かってないじゃんｗ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム-スコーレムの定理（英: Lowenheim-Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。
例と帰結
自然数を N、実数を R とする。この定理によれば、(N, +, ×, 0, 1) の理論（真の一階算術の理論）には非可算なモデルがあり、(R, +, ×, 0, 1) の理論（実閉体の理論）には可算なモデルがある。もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。レーヴェンハイム-スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であることを特徴付けるのに使われるが、その線型順序の完備性は一階の性質ではない。
https://fujicategory.hatenadiary.org/entry/20110721/1311211333
数学基礎論の勉強ノート
fujicategory
2011-07-21
レーヴェンハイム・スコーレムの定理！！
公理系Ｔが無限モデルを持てば、可算モデルも不可算モデルも持ちますよ！それどころかどんな大きな濃度のモデルも持ちますよ！っていう定理です。ちょっとテンションが上がってきますねー(∩´∀｀)∩
まずは定理の引用から。（新井敏康「数学基礎論」より）
定理５.１.７（上方(Upward)Lowenheim-Skolem 定理）
１．言語Ｌでの公理系Ｔがどんなにも大きい有限モデルをもてば あるいは無限モデルをもてば
（つまり∀ n ∃ M [M |= T\& card (|M|) >= n ] ，
どんな無限基数κ>=card(L)についても
ＴのモデルNで濃度κのものが存在する． 0526１３２人目の素数さん2021/12/07(火) 12:03:15.96ID:cltX9XJ0
>>525
> レーヴェンハイム-スコーレムが分かってないじゃんｗ
おまえがな。
どんな定理を適用しようがωの前者は存在しない。存在したら極限順序数の定義に反する。
バカに数学は無理なので諦めて下さい。 鬼の首とったりばりに喜び勇んで「分かってないじゃんｗ」と言って併記したコピペ内容を
誰よりも理解してないコピペ専門非学一徹永久無学主義者SetA
0528１３２人目の素数さん2021/12/07(火) 19:39:37.52ID:NlBzaa6N
>>525 >レーヴェンハイム-スコーレムが分かってないじゃんｗ
>>526 >おまえがな。
んだな
例えば最初の無限順序数ωより大きい超準自然数が存在する、なんて証明できない
超準自然数が存在する超準モデルにおける超準ωは
その超準モデルにおけるいかなる超準自然数よりも大きい
やっぱS ETAはレーヴェンハイム・スコーレムが全然理解できない白痴だったな 落ちこぼれは、悲しいね
下記を100回音読したらどうだ？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。
つづく 0531１３２人目の素数さん2021/12/08(水) 15:49:46.91ID:umaeoeyg
>>529
どこにも「有限で成り立つことは無限でも成り立つ」なんて書かれてないけど
日本語も読めない落ちこぼれ？ >>529-530
レーヴェンハイム・スコーレム関係なくなったな
やっぱり全然理解できない白痴だったな S ETAは 0533１３２人目の素数さん2021/12/10(金) 15:00:58.98ID:I0HYOg9d
あれ？あれあれ？あれれ〜？あっるるるぇ〜？シングルトンの集合としての定義“そのもの”の話が
『数としての定義へのシフトとその経緯』の話でも“なし”に“勝手に”数としての定義に摺り変わってるぞ〜！
何だこの自殺行為は？SetAは自分の自我の崩壊を見せ付ける事で自分を育てた親の人生の否定でもしてやりたいのか？
何なんだこの、深淵かつ不毛かつ徒労な、全き無駄は？この世に全く要らねぇじゃん、全き負の遺産でしかないじゃん！
SetAを生かす理由：専ら人類尊厳最優先尊重型自由資本民主制主義下人権堅守の為だけ
SetA特筆的固有に生かす理由：無し
おい、SetAを生かす理由が人権以外に何もねぇぞ
ロードローラーで圧し砕いてトイレに流しちまった方が世の為・人の為だなこりゃ
0535１３２人目の素数さん2021/12/23(木) 07:22:47.56ID:ypzkaLik
メモ
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Ordinal_number
Ordinal number
transfinite number, ordinal
The order type of a well-ordered set. This notion was introduced by G. Cantor in 1883 (see [2]). For instance, the ordinal number of the set N of all positive integers, ordered by the relation ≦, is ω. 0536１３２人目の素数さん2021/12/23(木) 08:04:29.49ID:ypzkaLik
0537１３２人目の素数さん2021/12/30(木) 09:03:33.91
300１３２人目の素数さん 2021/12/16(木) 11:16:02.46 ID:rOPOlAUb
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1638933969/300
誤り１
>さてノイマン構成で、ωn={0,1,…}が出来たとき、
>0,1,…の中に、無限のネスト深さの元が存在します
正解１
ノイマン構成で、ωn={0,1,…}が出来たとき、
0,1,…は全て、有限のネスト深さの元です
（つまり、無限のネスト深さの元は存在しません）
誤り２
>（証明：背理法による。
> 有限のネスト深さの元しかなければ、ωnは有限集合であるから、
> ωnが無限集合であることに矛盾する）
正解２
有限のネスト深さの元は無限にあるので、ωnは無限集合です
つまり、矛盾しません
誤り３
>同様に、ペアノ公理で、
>ツェルメロの後者関数 suc(a) := {a} を使って、
>無限集合たる自然数を構成すると、
>その中に無限のネスト深さの元が存在します.
>つまり、ペアノ公理を認めるならば、
>同様に無限集合たる自然数を構成できて、
>その中に無限のネスト深さの元が存在する
正解３
ペアノ公理を使って自然数の全体という
無限集合が構成できますが、
その中に「無限自然数」は存在しません
したがって
>ネスト深さｎの極限として、aωが構成でき
> lim n→ω an
>＝aω=ω{・・n{n-1{・・1{0{}01}1・・}n-1}n・・}ω
>＝ω{・・n{n-1{・・1{Φ}1・・}n-1}n・・}ω
>です。
は誤りであり嘘であり妄想です
ここまでよくないなら、残念ながら数学は無理ですね 0538１３２人目の素数さん2021/12/31(金) 07:46:55.42ID:7xI8oln4
>ネスト深さｎの極限として、aωが構成でき
> lim n→ω an
>＝aω=ω{・・n{n-1{・・1{0{}01}1・・}n-1}n・・}ω
>＝ω{・・n{n-1{・・1{Φ}1・・}n-1}n・・}ω
>です。
この発言のオカシイところ
１．lim n→ω anの定義が示されていない。
２．aω=ω{・・n{n-1{・・1{0{}0}1・・}n-1}n・・}ωの定義が示されていない。
例えばω{の右隣りのカッコが有るのか無いのかすら示されていない。
３．lim n→ω anとaωが等しい理由が示されていない。
まったく数学の体を為していない。100点満点で0点。
0539１３２人目の素数さん2022/01/01(土) 15:33:20.65ID:lBjAMPml
メモ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%BA%E4%BC%9D%E7%9A%84%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88
遺伝的有限集合（いでんてきゆうげんしゅうごう、英: hereditarily finite set）は有限個の遺伝的有限集合からなる有限集合と定義される。この定義は帰納的である。遺伝的という名称は遺伝的有限という性質がその元に遺伝することによる。
https://en.wikipedia.org/wiki/Hereditarily_finite_set
Hereditarily finite set
In mathematics and set theory, hereditarily finite sets are defined as finite sets whose elements are all hereditarily finite sets. In other words, the set itself is finite, and all of its elements are finite sets, recursively all the way down to the empty set.
Representation
This class of sets is naturally ranked by the number of bracket pairs necessary to represent the sets:
・{} (i.e. Φ , the Neumann ordinal "0"),
・{{}} (i.e. {Φ } or {0}, the Neumann ordinal "1"),
・{{{}}},
・{{{{}}}} and then also {{},{{}}} (i.e. {0,1}, the Neumann ordinal "2"),
・{{{{{}}}}}, {{{},{{}}}} as well as {{},{{{}}}},
・... sets represented with 6}6 bracket pairs, e.g. {{{{{{}}}}}},
・... sets represented with 7}7 bracket pairs, e.g. {{{{{{{}}}}}}},
・... sets represented with 8}8 bracket pairs, e.g. {{{{{{{{}}}}}}}} or {{},{{}},{{},{{}}}} (i.e. {0,1,2}, the Neumann ordinal "3")
・... etc.
In this way, the number of sets with n bracket pairs is[1] 1,1,1,2,3,6,12,25,52,113,247,548,1226,2770,6299,14426,・・・
Axiomatizations
Theories of finite sets
ZF
See also
Hereditary set
Hereditarily countable set
Hereditary property
Rooted trees
Constructive set theory
Finite set 0540１３２人目の素数さん2022/01/01(土) 17:56:10.16
いわずもがなですが
遺伝的有限集合全体の集まり
は無限集合ですよ
>>539
無限重シングルトンのコピペ未だですか？
コピペは得意なんですよね？ 0542１３２人目の素数さん2022/01/28(金) 14:34:30.29ID:OCJDS5eR
転載しておく
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 64
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1641704497/594
594 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/01/28(金) 07:44:33.71 ID:341TuiYA
>>7 追加
> ”（スレ55 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1623558298/158より）
> ＜上昇列 ０＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない
> ことも分からん「考えなしの素人」に数学はムリ”
反例が見つかった（下記）ｗ
下記のOrdinal arithmetic
・Addition で、... < 0'
・Multiplicationで、... < 01
・Exponentiationで、... < (0,1)
ｗｗｗ
https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_arithmetic
Ordinal arithmetic
Addition
The first transfinite ordinal is ω, the set of all natural numbers. For example, the ordinal ω + ω is obtained by two copies of the natural numbers ordered in the usual fashion and the second copy completely to the right of the first. Writing 0' < 1' < 2' < ... for the second copy, ω + ω looks like
0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ...
This is different from ω because in ω only 0 does not have a direct predecessor while in ω + ω the two elements 0 and 0' do not have direct predecessors.
Multiplication
Here is ω・2:
00 < 10 < 20 < 30 < ... < 01 < 11 < 21 < 31 < ...,
which has the same order type as ω + ω.
Exponentiation
For instance, ω^2 = ω・ω using the operation of ordinal multiplication. Note that ω・ω can be defined using the set of functions from 2 = {0,1} to ω = {0,1,2,...}, ordered lexicographically with the least significant position first:
(0,0) < (1,0) < (2,0) < (3,0) < ... < (0,1) < (1,1) < (2,1) < (3,1) < ... < (0,2) < (1,2) < (2,2) < ...
Here for brevity, we have replaced the function {(0,k), (1,m)} by the ordered pair (k, m).
(引用終り)
以上 0543１３２人目の素数さん2022/01/28(金) 15:48:54.96
>>542
転載な
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 64
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1641704497/596
596１３２人目の素数さん2022/01/28(金) 10:20:39.06ID:XHv+DeMU
594
>This is different from ω because in ω only 0 does not have a direct predecessor while in ω + ω the two elements 0 and 0' do not have direct predecessors.
しっかり書いてありますね 。0'の前者は無いと。英語読めますか？
つまり
>0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ...
なる表記は＜列ではないと。
＜列ならば二項関係＜の定義に従い < 0' の左隣が存在する必要がありますから。
コピペバカには理解不能かな？ 0544１３２人目の素数さん2022/01/28(金) 20:08:58.84ID:XHv+DeMU
転載までしてバカアピールですか？
ご苦労様です
0545１３２人目の素数さん2022/01/29(土) 11:28:19.11ID:2PdAu/y1
メモ
「郡司のもつペギオ(Pegio)というペンネーム中のミドルネームは、本当は自分の子供につけるはずの名前だったが、妻に反対されたため自分のペンネームに使っている。 ただ単にペンギンが好きだからという説もある...」
http://webcatplus.nii.ac.jp/webcatplus/details/creator/573756.html
Webcat Plus
郡司 ペギオ幸夫 (1959-)
郡司 幸夫(ぐんじ ゆきお、ペンネームは郡司 ペギオ 幸夫(英 Yukio-Pegio Gunji)、1959年 - )は日本の理学者。 現在、早稲田大学理工学術院基幹理工学部・研究科教授。 「”生命と物質の違いは何か”とは如何なる問いか。 そして、我々はその問いに対して、如何なる答え方を用意すべきか」という 問題に取り組んでいる。 この問題に取り組む過程で内部観測と呼ばれる理論を発展させた。 郡司のもつペギオ(Pegio)というペンネーム中のミドルネームは、本当は自分の子供につけるはずの名前だったが、妻に反対されたため自分のペンネームに使っている。 ただ単にペンギンが好きだからという説もある...
「Wikipedia」より これ、いいね
https://mathematics-pdf.com/column/incomplete.html
数学 PDF よしいず
コラム > ゲーデルの不完全性定理について
ゲーデルはω-無矛盾という仮定のもとで第一不完全性定理を証明しました．
ゲーデルの第二不完全性定理とは， 「自然数論の公理を含む無矛盾な形式的体系の無矛盾性は，その体系内では証明できない」というものです．
これは，自然数論の公理を含む数学の理論が， 少なくとも有限の立場では自分自身の正しさを示すことは不可能であることを意味します．
証明における主なステップは，次の通りです．
数学を形式的に表現することに関して，「各自然数ごとに表現可能」という概念を導入する．
「原始帰納的」と呼ばれる関数が各自然数ごとに表現可能であるという，「表現定理」を証明する．
数学の証明の一部を「ゲーデル数」と呼ばれる数に対応させることで証明をある意味で計算できるようにする．
カントールの対角線論法のアイデアを用いて，「対角化定理」と呼ばれる，論理式における不動点定理のようなものを証明する．
決定不可能な論理式，つまり自分自身もその否定も体系内では証明できないような論理式 U を構成する．（第一不完全性定理）
「体系は無矛盾である」という命題を体系内の論理式として表現する. その論理式を C とおく.
「 C が体系内で証明できるならば U も体系内で証明できる」ということを証明する. このとき，U は体系内では証明できない論理式だから，C もまた体系内では証明できない論理式である. （第二不完全性定理）
上の証明のステップ６において， 「形式的体系が無矛盾である」という命題を表現する論理式の選び方は一通りではありません．
クライゼルは，無矛盾性を表現する論理式で， ゲーデルが不完全性定理の証明で用いた論理式とは別のものをとると， それが自然数論の公理を含む形式的体系のなかで証明できる場合があることを注意しました．
これは，数学の命題を形式的に表現する絶対的な方法が確定しているわけではないことを示唆しています．
関連書籍
前原昭二（著）： 数学基礎論入門，朝倉書店，1977
広瀬健／横田一正（著）： ゲーデルの世界，海鳴社，1985
日本数学会（編）： 岩波数学辞典第３版 184 数学基礎論，岩波書店，1985 0548１３２人目の素数さん2022/12/20(火) 15:59:00.03ID:R0GrT6qP