面白い問題おしえて～な二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2017/08/07(月) 00:07:33.27

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/11(日) 15:51:15.08

>>939
>　（ab/d)・d = a・b
>より
>　φ(ab/d)・φ(d) = φ(a)・φ(b)
これってdがaやbとどういう関係の時に成り立つの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/11(日) 16:24:21.30

>>952
gcd(a，b) = d　のとき

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/11(日) 17:21:31.53

問題文読めとしか言えんな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/11(日) 18:09:51.25

>>953
d=gcd(a,b)のときだけじゃなく
d=aやd=bのときもだけど？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/11(日) 18:12:20.27

>>953
それとその等式が
d=gcd(a,b)
のときに成り立つことの証明は
結局の所それを使わず
φ(ab)φ(d)=φ(a)φ(b)d
を証明するのと同じじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 04:44:01.92

【懸賞問題】

ab平面上の図形Aに対して、xy平面上の点の集合Bを
B={(x,y) | ∀(a,b)∈A, |ax+by|≦1}
と定義する。

Aが単位円のとき、Bはどのような図形になるか？(Aの面積)*(Bの面積)はいくつか？これより大きくなる例を見つけた場合1億円差し上げます。

Aが{(a,b) | |x|≦1, |y|≦1}の正方形のとき、Bはどのような図形になるか？(Aの面積)*(Bの面積)はいくつか？これより小さくなる例を見つけた場合1億円差し上げます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 05:17:38.32

訂正
下の設問はA={(a,b) | |a|≦1, |b|≦1}

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 05:22:30.15

【懸賞問題その2】

abc空間上の図形Aに対して、xyz空間上の点の集合Bを
B={(x,y,z) | ∀(a,b,c)∈A, |ax+by+cz|≦1}
と定義する。

Aが単位球のとき、Bはどのような図形になるか？(Aの体積)*(Bの体積)はいくつか？これより大きくなる例を見つけた場合1億円差し上げます。

Aが{(a,b,c) | |a|≦1, |b|≦1, |c|≦1}の立方体のとき、Bはどのような図形になるか？(Aの体積)*(Bの体積)はいくつか？これより小さくなる例を見つけた場合は教えてください。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 08:16:24.16

>>957
A={(1,0),(0,1)}
(Aの面積)*(Bの面積)=0

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 16:29:32.11

それは面積を持たないし、平面図形じゃないですね。
Aは中身のつまった面積のある図形です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 17:22:04.99

頭の悪い奴だな
そんな条件はないし面積０を持ってる
面積０とかが嫌なら少し膨らませて長方形とかにすればいい

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 17:25:27.30

一億円ホントに持ってんだろうな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 17:28:26.39

>>962
試しにその少し膨らませた長方形で計算してみてください。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 17:50:37.35

A={(a,b)|1≦a+b≦1+t,-1≦a-b≦1}
B⊂{(x,y)||1x+0y|≦1,|0x+1y|≦1}={(x,y)||x|≦1,|y|≦1}

Aの面積=t
Bの面積≦4

(Aの面積)*(Bの面積)≦4t

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 17:57:58.05

>>965
Bのほうは誤りですね

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 18:09:17.70

>>966
どれが間違い

(1) B⊂{(x,y)||1x+0y|≦1,|0x+1y|≦1}
(2) {(x,y)||1x+0y|≦1,|0x+1y|≦1}={(x,y)||x|≦1,|y|≦1}
(3) {(x,y)||x|≦1,|y|≦1}の面積は4
(4) Bの面積≦4

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 18:38:24.47

(1)です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 19:53:14.08

やはりこのスレのレベルでは手に終えないようですね。
有効な回答が出ないようなので、懸賞問題は締切とさせていただきます。
次回にご期待ください。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 01:32:03.09

gcd(a,b)=1 をみたす a、b∈Z と、任意の n∈Z (n≠0) に対して、gcd(ax+b,n)=1 をみたす x∈Z が存在することを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 04:49:41.27

>>970

n≠0 の約数のうち、bと素な最大の約数をｘとする。(*)
gcd(ax+b，x）=gcd（b，x）= 1　　…　(1)

また、題意より
gcd（a，b）= 1,
gcd(ax+b，b）= gcd(ax，b）= 1,
n/x の素因数はすべてbの素因数だから　　←(*)
gcd(ax+b，n/x）= 1　…　(2)

(1)(2)より、
gcd(ax+b，n）= 1.

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 10:50:44.52

検算において、九去法よりも11去法の方が誤りの検出力が強いのは何故か？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 12:22:29.92

九去法は数字の入れ換えを検出できない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 04:00:17.83

簡単に解ける幾何の問題を一つ作ってみた
問．点Oを中心とする半径1の円と、点Aがあり、OA=2とする。
円周上に点P,Q,Rをとり、Oから直線APへの距離は1/2とする。
また、AP上P側に点XをAX=5となるように取り、
さらに、AQ上、AR上それぞれQ,R側に点Y,Zを取ると、
四角形PQYX,及び四角形QRZYはそれぞれ円に内接するという。
∠XYZ=120°の時、XZの長さを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 05:13:40.49

(1)　0<θ<πで、2-2cosθと(sinθ)^2の大小を比較せよ。
(2)　πを下から抑えるとき、円に内接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。
(3)　πを上から抑えるとき、円に外接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。

（参考）
一般の平面図形で、与えられた周長で面積が最大となるものは円である（等周問題）。
従って、ある平面図形の周長が2πより短いとき、(周長の半分の数値)>(面積の数値)である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 06:31:15.01

>>975
(1)
(2-2cosθ)-(sinθ)^2＝(1-cosθ)^2
0<θ<πで、cosθ＜1なので2-2cosθ＞(sinθ)^2

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 07:36:49.45

>>974は面白くない？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 07:52:11.70

レスがつかなかったということは？

**DJ学術** · 2018/02/18(日) 08:32:28.36

あほなもんだなあ。数学は。我ながら。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 10:36:49.37

平面上にn個の異なる点を配置する。何の2点間の距離も、必ず或る2つの実数値の何方かを取るようにn個の点を配置することを考える。n=3の時は、二等辺三角形をなす様に配置する例がある。

1)　n=4の時、点の配置を全て求めよ。
2)　n=5の時、点の配置は正五角形に限ると言えるか。
3)　n=6の時、条件を満たす点は位置は存在しないことを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 13:49:43.04

>>980
１）
・正3角形＋その中心　　（√3）
・正方形　　（√2）
・正5角形－1頂点　　（√5 -1)
・60°の菱形：合同な2つの正3角形を辺で張り合わせた形　（√3）

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 14:34:58.79

>>981
正三角形の頂点３つと、その１つから対向する辺へ垂線を下ろしたとき、その垂線の延長線上に４つ目の点の候補があと２つある

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 15:06:38.42

>>982
こう言い変えてみる
平面上の円に対して
・中心角30度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心
・中心角60度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心(>>980の4番目の解)
・中心角72度をなして等間隔に並ぶ円周上の4点(>>980の3番目の解)
・中心角90度をなして等間隔に並ぶ円周上の4点(>>980の2番目の解)
・中心角120度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心(>>980の1番目の解)
・中心角165度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 15:08:45.21

>>983
アンカー間違えた>>981宛ね

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 15:35:21.76

>>982
１）
・正三角形（辺長=L）と、１頂点から対辺の方向に±Lだけずれた点。（(√3 干1)/√2 = 2sin（45ﾟ干30ﾟ）

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 15:40:09.07

我ながら素敵な問題なので皆さん頑張って下さい
エレガントな解を待っています

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 16:28:14.33

３次元でやるとどうなるかってのが興味深い

ところで次スレたてられる人いますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 21:24:15.16

974
そんな難しいかね。簡単にとける思うんだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 23:04:15.61

このスレで解かれずに残ってる問題一覧：

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 00:15:11.67

各自で次スレに転載すればよし

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 00:22:02.99

このスレは実質25スレ目だから

次スレ
面白い問題おしえて～な 26問目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 01:08:01.47

>>980
（２）
5点のうちの1点を取り去れば、（１）のどれかになるはず。 >>983

>>991
スレ立て乙

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 15:24:25.97

>>987
三次元で点４つの場合
・四面すべてが合同な二等辺三角形である四面体の各頂点
・少なくとも２枚の面が正三角形である四面体の各頂点
・正三角形を底面に持ち、残りの頂点から底面に下ろした垂線の足が底面の重心と一致する四面体の各頂点
・正三角形を底面に持ち、少なくとも１つの斜辺の長さが正三角形の一辺に等しく、かつその斜辺を含む底面との垂面で面対称となる四面体の各頂点
・斜辺a底辺bの二等辺三角形と斜辺b底辺aの二等辺三角形を２枚ずつ組み合わせてできる四面体の各頂点

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 02:53:56.44

>>993

最初のは、正方形柱の、1つおきの4頂点…

正4面体はすべてに含まれそう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 00:27:10.81

>>915

aを定数とすると、与式が自然数ならば
b+a^2+a≧ab^2+b+7
⇔ab^2-a^2-a+7≦0
⇔-√(a+1-7/a)≦b≦√(a+1-7/a) (∵a>0)
bは自然数だから
1≦b≦√(a+1-7/a)
特にa≦10000のときb≦100<100.0…

# Python 3
for a in range(1,10001):
for b in range(1,101):
k=(b+a*a+a)/(a*b*b+b+7)
if k==int(k):
print(a,b,k)
print('done')

数秒で次の出力を得た

11 1 7.0
17 2 4.0
27 3 3.0
49 1 43.0
done

これ以外に解はないと考えられる

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 00:34:36.18

>>995
>>920

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 22:15:53.35

とっとと埋めない？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 22:31:24.00

埋めない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/23(金) 00:12:21.16

余白が足りない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/23(金) 00:15:24.31

驚くべき証明を発見した

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