>>750

＞x(t)とv(t)は独立した関数ではなくしかもv(t)=x'(t)が成り立つから

これが間違ってるんですよ

x(t)とv(t)は独立に扱います
それがラグランジュ力学です
v(t)=x’(t)が成り立つのは、x(t)が運動方程式を満たす場合(=On shell)の場合です

運動方程式を満たさない場合(=Off shell)の場合は、xとvは独立に扱います

最初はOff shellだと考えてxとvを独立に扱う
その上で、運動方程式を書き下して、運動方程式を満たすようなx(t)とv(t)の関係を見つけ出すということです