>>435
これ実は結構デリケートな問題

一応いまできる説明をしておきますが
そもそも{|x>}は非可算集合ではありません
(フォン・ノイマンがこのあたりの証明をしていましたが
実は可算無限個の|x>を用意すれば
状態空間を稠密にサンプルする状態たちを作ることができます)

したがって{|x>}展開しても{|p>}で展開しても自由度としては両者とも同じになります
似たようなことは普通のフーリエ変換でも起きることで
有界区間上の関数(非可算無限個)が特定の周波数の三角関数(可算無限個)で展開されてますね
そのカラクリというのはまさに区間が有界であることから来てるわけですが
量子力学の言葉で言うなら、これは粒子がポテンシャルの谷に束縛されている、という物理的条件に対応します
まとめると、束縛状態は可算個の基底で展開でき、散乱状態は非可算無限個の基底で展開できます

物理的な条件で～という理解はおおよそ正しいです