連続無限個の基底|x>で展開される|ψ>がエネルギー固有状態などの可算無限個の基底で展開できるのは
物理的な条件によって波動関数に制限が課されるためで、自由度がその分落ちてしまうためだと考えていました。
例えば、三次元空間内の平面の位置はx,y,zの３つの基底で表せますが、適当な２つの独立なベクトルでも表せるみたいな感じです。
|ψ> についても同じようなものだと考えていましたが、この疑問が解消できず困ってしまいました。

物理や数学系の学科ではないので表現がおかしなところが多々あると思いますが、その点は申し訳ないです。