>>183 補足
もう一つ 重要キーワードが 下記の”近傍”だ
”近”という概念が 距離空間と相性がいい
”開近傍系”を知ると
εδ法 位相空間 距離空間 の３者の関係が良く分かるだろう

重要きーワードは与えたので
中高一貫校生は 自分で調べてください　（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%91%E5%82%8D%E7%B3%BB
位相空間論周辺分野において、点の近傍系（きんぼうけい、英: neighbourhood system）あるいは近傍フィルター（きんぼうフィルター、英: neighbourhood filter）とは、その点の近傍全体の成す集合族をいう。
定義
近傍系と開近傍系
(X, O) が位相空間で、x ∈ X であるとき、x の近傍全体の集合を x の近傍系といい、x の開近傍全体の集合を x の開近傍系という
例
距離空間の任意の点 x に対して、x を中心とする半径 1/n の開球体の列
B(x)={B1/n(x);n∈N}
は可算な基本近傍系をなす。ゆえに、任意の距離空間は第一可算である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%91%E5%82%8D_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
近傍 (位相空間論)
位相空間論周辺分野でいう近傍（きんぼう、英: neighborhood）は位相空間の基本概念の一つで、直観的に言えば与えられた点を含む集合で、その点を少しくらい動かしてもその集合から外に出ないようなものをいう。
近傍の概念は開集合と内部の概念と密接な関連がある。

定義
略す
注意すべきは、V それ自体は X の開集合である必要はないことである。V 自身が開集合となるときは特に開近傍と呼ぶ。文献によっては開近傍を以って単に近傍とする場合もあるが、普通はそのことを断る。
また、任意の開集合はそれに含まれる全ての点の（開）近傍である。
一つの点の近傍全体の成す集合族は、その点における全近傍系と呼ばれる。

距離空間における近傍
距離空間 (X, d) において、X の部分集合 V が X の点 p の近傍であるとは、p を中心とする半径 r の開球体
Br(p)=B(p;r)={x∈X∣d(x,p)<r}
で、V に含まれるようなものが存在することをいう。
V が X の部分集合 S の一様近傍であるとは、正の実数 r > 0 が存在して、S の任意の点 p に対して
Br(p)={x∈X∣d(x,p)<r}
が V に含まれるときにいう。