日高と申します。よろしければ、ご指摘いただけないでしょうか。

【定理】n=3のとき、x^n+n^p=z^nは自然数解を持たない。
x^3+y^3=z^3を、x^3+y^3=(x+r)^3…(1)とおく。
(1)をr^2{(y/r)^3-1}=3(x^2+rx)…(2)と変形する。
(2)はr^2=3のとき、r=√3となり、x^3+y^3=(x+√3)^3…(3)となる。
(2)はr^2=m^2のとき、r=mとなり、x^3+y^3=(x+m)^3…(4)となる。(mは有理数)
(3)はyが有理数のとき、xは無理数となるので、有理数解を持たない。
(3),(4)のx,yの比は同じなので、(4)も有理数解を持たない。
(3)のyが無理数で、整数比の解を持つならば、
(s√3)^3+(t√3)^3=(s√3+√3)^3…(5)となる。(s,tは有理数)
(5)の両辺を(√3)^3で割ると、s^3+t^3=(s+1)^3…(6)となる。
(4),(6)の形は、同じなので、(6)は有理数解を持たない。
∴n=3のとき、x^n+n^p=z^nは自然数解を持たない。