日高と申します。よろしければ、ご指摘いただけないでしょうか。

【定理】p=3のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。
x^3+y^3=z^3を、x^3+y^3=(y+1)^3…(1)とおく。x,yは有理数とする。
(1)を(x-1)(x^2+x+1)=3(y^2+y)…(2)とおく。
(2)は(x-1)=3のとき、(x^2+x+1)=(y^2+y)とならないので、成立しない。
『理由：(x^2+x+1)は奇数、(y^2+y)は偶数となる。』
AB=CDならば、A=Cのとき、B=Dとなるので、x=4以外の場合も、成立しない。
∴p=3のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。