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その先の【証明】がたったの1行しかないので，その意味するところが明確ではありませんが，
その部分は「x,yの一方のみが有理数で，他方は無理数である」という主張に基づいて，
その解を有理数倍しても，無理数倍しても「ともに有理数となることはない」という結論を導こうとしているものと思われますが。

はい。そうです。