（追加引用） https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/ Stanford Encyclopedia of Philosophy Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett First published Tue Jul 2, 2013 (抜粋) II.Axiom of Elementary Sets This asserts (a) the existence of a set which contains no members (denoted ‘0’ by Zermelo, now commonly denoted by ‘Φ’); (b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member; and (c) the existence, for any two objects a, b, of the unordered pair {a, b}, which has just a, b as its members. 0103現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土) 22:25:40.62ID:JrhjRl4x>>99 ＞縦方向は必ず有限です
>Infinity >This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set, and for each set a that it contains, also contains the set {a}. > (Thus, this infinite set must contain Φ, {Φ}, {{Φ}}, ….)
なので、無限公理でできた最小に絞る前の無限集合には、 自然数を表現する以上の つまり、真に無限の{・・・{Φ}・・・}なる無限多重カッコ{}の集合が 含まれていることは 明白ですね QED
（参考） https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity Axiom of infinity (抜粋) In axiomatic set theory and the branches of mathematics and philosophy that use it, the axiom of infinity is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory. It guarantees the existence of at least one infinite set, namely a set containing the natural numbers. It was first published by Ernst Zermelo as part of his set theory in 1908.[1]
Thus the essence of the axiom is: There is a set, I, that includes all the natural numbers.
Extracting the natural numbers from the infinite set The infinite set I is a superset of the natural numbers. To show that the natural numbers themselves constitute a set, the axiom schema of specification can be applied to remove unwanted elements, leaving the set N of all natural numbers. This set is unique by the axiom of extensionality. 0111現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日) 08:00:15.16ID:d8OQiN+r>>105 >>110をどうぞ 0112現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日) 08:39:19.54ID:d8OQiN+r>>77 追加
下記、定理 93ですけど、ここに集積点を含まないことは明白ですね（＾＾ http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/ 坪井明人 筑波大 http://math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/set2.pdf 坪井明人 11 整列集合 定義 88（整列順序）順序集合 (X, <) が整列集合（あ るいは整列順序集合）であるとは，空でない任意の A ⊂ X の中に（A の）最小元が存在することである． 注意 89 整列集合は全順序集合である．全順序集合 であることは，２元集合 A = {x, y} に必ず最小元が 存在することからわかる． 例 90 1. (N, <) は整列集合である． 2. (Z, <) は（全順序集合であるが）整列集合でない． 3. 有限の全順序集合は整列集合になる． 関数 f : N → X は X の元からなる無限列と考えられる． 無限列は (an)n∈N などで表す． 定義 91 (X, <) を順序集合とする．X の元の無限列 (an)n∈N が無限降下列であるとは，任意の n ∈ N に対して， an+1 < an が成立することである． 例 92 1. Z における数列 (an)n∈N を an = ?n で定めると，無限降下列である． 2. N の中には無限降下列は存在しない．
>Infinity >This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set, and for each set a that it contains, also contains the set {a}. > (Thus, this infinite set must contain Φ, {Φ}, {{Φ}}, ….) で、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}で、自然数の集合Nができるけど 無限公理で最初は、Nよりも大きな集合ができるんですよね、確か（下記wiki） (引用終り)
ツェルメロ構成で、aの後者関数：suc(a) := {a} なので 上記、set a に対して set {a}が必ず属するという、無限公理の規定の仕方をしているのかな？ （原典まで確認していないが）
ノイマン流では、で、aの後者関数：suc(a) := a∪{a} なので この場合の無限公理は、set a に対して a∪{a}が必ず属すると規定される
(>>154より） von Neumannで、自然数Nが構成できる（下記） 無限降下列 0∈1∈2・・∈N
ノイマン構成では、N＝ωです ωが、極限順序数で、位相的に集積点（極限点）であり、任意の近傍が S の点を無限に含むということを、ご理解ください 特に、”任意の近傍が S の点を無限に含む”が理解できないのかな？
（参考） https://hc3.seikyou.ne.jp/home/Tetu.Makino/suu_no_taikei.pdf 平成26年度教員免許状更新講習テキスト 「数の体系」講師：牧野 哲 （山口大学工学部教授）2014 年 6 月 22 日 (抜粋) P4 集合論から自然数系を構成する方法としては， von Neumann の方法が知られている。 これは， 0 := Φ(空集合), 1 := {Φ}, 2 := {Φ, {Φ}}, ・ ・ ・ , s(n) := {0, 1, 2, ・ ・ ・ , n}, ・ ・ ・ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数 (抜粋) 任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。 ・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9 集積点/極限点 (抜粋) 定義 位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である https://ja.wikipedia.org/wiki/T1%E7%A9%BA%E9%96%93 T1空間 (抜粋) X が T1-空間であるとは、X の任意の相異なる二点が分離できるときに言う (引用終り) 0165現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日) 13:59:06.45ID:d8OQiN+r>>164 追加 （参考） 現代数学はインチキだらけ より https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1567930973/882- https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82 整礎関係 (抜粋) その他の性質 (X, <) が整礎関係で x が X の元ならば、x から始まる降鎖列は必ず長さ有限だが、これはこのような降鎖の長さが有界であるということを意味しない。 以下のような例を考えよう。X は正の整数全体の成す集合に、どの整数よりも大きな 整数ではない新しい元 ω を付け加えた集合とする。 このとき X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1 という鎖は長さ n を持つ。 モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma) によれば、集合要素関係 (set membership) は普遍的な整礎関係である。つまり、クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる。 (引用終り) （英語版） https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation Well-founded relation (抜粋) Other properties If (X, <) is a well-founded relation and x is an element of X, then the descending chains starting at x are all finite, but this does not mean that their lengths are necessarily bounded. Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer. Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1 has length n for any n. The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations: for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X, R) is isomorphic to (C, ∈). (引用終り) 0166１３２人目の素数さん2019/10/06(日) 14:06:26.50ID:9PvOfF3Z>>164 質問は「ωの次の項は何か？」です 講釈は要らないので単純に端的にωの次の項を答えて下さい 0167１３２人目の素数さん2019/10/06(日) 14:13:31.28ID:9PvOfF3Z>>163 ωから始まる∈無限降下列が存在すると主張しているのはあなたですから、質問に答えるべきもあなたです 答えられないからといって教員に聞けとか変なこと言わないで下さいね 0168現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日) 14:42:39.60ID:d8OQiN+r>>166 √5 ＝〜 2.2360679・・・・・ 富士山麓オーム鳴く［ふじさんろくおーむなく］ この数列の最後の数字は、0〜9のどれでしょうか？ これと類似の質問では？ https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/kosu/mathematics/qanda/01-09.html 数学トピックQ&A 無理数の語呂合わせ √5 ＝〜 2.2360679・・・・・ 富士山麓オーム鳴く［ふじさんろくおーむなく］ 0169現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日) 14:44:12.72ID:d8OQiN+r むかし、２Chと言っていた時代に 新聞だったかに、書かれていたのが 「大人だと思って書いていたら、相手は子供だった」という記述があるのを思い出しました 0170１３２人目の素数さん2019/10/06(日) 14:58:43.61ID:9PvOfF3Z>>168 これは酷い 数列 an には最後の項 a∞ はありません 一方第2項 a2 はあります
>>165より ”(X, <) が整礎関係で x が X の元ならば、x から始まる降鎖列は必ず長さ有限だが、これはこのような降鎖の長さが有界であるということを意味しない。 以下のような例を考えよう。X は正の整数全体の成す集合に、どの整数よりも大きな 整数ではない新しい元 ω を付け加えた集合とする。 このとき X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1 という鎖は長さ n を持つ。”
意味分かりますか？
>>164より (>>154より） von Neumannで、自然数Nが構成できる（下記） 無限降下列 0∈1∈2・・∈N ノイマン構成では、N＝ωです ωが、極限順序数で、位相的に集積点（極限点）であり、任意の近傍が S の点を無限に含むということを、ご理解ください 特に、”任意の近傍が S の点を無限に含む”が理解できないのかな？
余談 ここで用いられている自然数の定義はよく知られ用いられている。それを前提として下の記述を見てみよう。 1∈3 高校数学の知識では「3は集合ではないので ∈ の右側に 3 を書くのはおかしい」となるのであろうが、我々が採用した「すべてのモノは集合である」論理では 3 も集合として定義しているのでその指摘は当たらない。 しかも、3 は {0,1,2} (0と1と2だけが属する集合) と定義されているので 1∈3 (1は3に属する) は正しい。 この点で微妙に高校数学の集合論と公理的集合論 (とりわけ ZF 公理系や ZFC 公理系を採用する集合論) には違いがある。 (引用終り) 0175現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日) 16:07:45.71ID:d8OQiN+r>>102 追加 ＞(b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member; and
この”for any object a, of the singleton set {a}” は、ZFCでは、対の公理だね a → {a}が言える
さて、集合の概念で、最も便利な性質、すなわち任意に命題 P が与えられたとき、P を満たす x 全体の集合、というものを考えたいのですが、これをそのまま公理にしたのでは、Russellのパラドクスにより矛盾が生じてしまいます。 そこで、通常の数学で、このような集合を考えたいときには、いつもどのような状況にあるかということを考えると、既に集合であることがわかっている a の元のうち、P を満たすようなもの全体からなる集合、というものを考えていることがわかります。そこで、分出公理：
∀a ∃b ∀x [ x∈b U ( x∈a ∧ P ) ] を仮定しよう、という考え方があります。このような集合 b は、外延性公理により唯一つであることが証明できますから、これを { x∈a | P } と書きます。なお、ここで素直に「仮定します」と言わなかったのは、次のような、別の場面で必要となる公理があり、この分出公理はそこから導出できるからです。
数学の議論では、変数 i を含む項 T と、集合 I があるとき、i∈I に対する T 全体からなる“集合”を考える、ということがしばしばあります。 大抵の場合、i∈I のとき、T は i に無関係なある集合 A に属しているので、これを集合と見なすことは分出公理により正当化されるのですが、順序数の議論のような、集合論として“きわどい分野”での議論を行うときは、このような条件が成り立っていない場合があります。 ところで、この場合の項 T は、集合 I の元 i に対してある対象 T を表しており、i に T を対応させる関数が与えられたとみなすことができます。 そこで、集合 I の関数による像 { T | i∈I } となる集合が存在すると言う意味の置換公理：
[∀x ∀y ∀z ( ( P(x, y) ∧ P(x, z) ) → y = z ) ] → ∀a ∃b ∀y [ y∈b ⇔ ∃x ( x∈a ∧ P(x, y) )] を仮定します。 この公理は一見わかりにくい形をしていますが、左辺の ∀x ∀y ∀z ( ( P(x, y) ∧ P(x, z) ) → y = z ) というのは、x と y に関する関係 P(x, y) が一価関係であるということ、言い換えると、与えられた x に対して P(x, y) を満たす y を対応させる対応が x の関数になっていることを意味します。 従って、上の置換公理の述べるところは、一価関係 P が表す関数による集合 a の像となる集合が存在する、ということを意味しています。このような集合 b は、外延性公理により唯一つであることが証明できます。
さて、この置換公理を仮定すると、変数 y を含まない任意の命題 R に対して R ∧ x = y という命題を P(x, y) と書けば、これは明らかに一価関係です。 ゆえに、置換公理によって ∀a ∃b ∀y [ y∈b ⇔ ∃x ( x∈a ∧ R ∧ x = y ) ] すなわち ∀a ∃b ∀x [ x∈b ⇔ ( x∈a ∧ R ) ] となって、これは分出公理に他なりません。すなわち分出公理は置換公理から導出できるのです。
(引用終り) 以上 0183現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日) 20:24:47.04ID:d8OQiN+r>>181 補足 > さて、集合の概念で、最も便利な性質、すなわち任意に命題 P が与えられたとき、P を満たす x 全体の集合、というものを考えたいのですが、これをそのまま公理にしたのでは、Russellのパラドクスにより矛盾が生じてしまいます。 > そこで、通常の数学で、このような集合を考えたいときには、いつもどのような状況にあるかということを考えると、既に集合であることがわかっている a の元のうち、P を満たすようなもの全体からなる集合、というものを考えていることがわかります。そこで、分出公理：
