https://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6wenheim%E2%80%93Skolem_theorem Lowenheim?Skolem theorem (抜粋) The proof of the upward part of the theorem also shows that a theory with arbitrarily large finite models must have an infinite model; sometimes this is considered to be part of the theorem.
Many consequences of the Lowenheim?Skolem theorem seemed counterintuitive to logicians in the early 20th century, as the distinction between first-order and non-first-order properties was not yet understood. One such consequence is the existence of uncountable models of true arithmetic, which satisfy every first-order induction axiom but have non-inductive subsets.
Another consequence that was considered particularly troubling is the existence of a countable model of set theory, which nevertheless must satisfy the sentence saying the real numbers are uncountable. This counterintuitive situation came to be known as Skolem's paradox; it shows that the notion of countability is not absolute. 0628現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土) 14:54:57.80ID:H2e5WMAT>>626-627
(引用開始) レーヴェンハイム−スコーレムの定理 定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。 The proof of the upward part of the theorem also shows that a theory with arbitrarily large finite models must have an infinite model; sometimes this is considered to be part of the theorem. (引用終り)
「集合Z0には要素0、{0}、{{0}}などが含まれ、 それらの要素が数字の位置を表すことができるため、 「一連の数字」と呼ばれる場合があります。 これは、「無数の無限」集合の最も単純な例です」 ↓ （>>621より英文） The set Z0 contains the elements 0, {0}, {{0}}, and so on, and may be called a "series of numbers" because their elements can represent the location of the numerals. It is the simplest example of a "countless infinite" set (Nos. 36). (引用終り)
これの意味は 0、{0}、{{0}}、・・・、{・・{0}・・}n重、・・・ ↓↑ 0、 1、 2、・・・、 n、 ・・・ これで無限集合ができるってこと つまり、シングルトンの無限列だよｗ（＾＾ 0630１３２人目の素数さん2019/12/07(土) 15:04:02.97ID:r8l5YtX/>>628 違います。 後者関数だけで超限帰納法ができると言ってるのは整列順序集合がわかってないからです。 もうすでにあなたがコピペした文章の中に整列順序集合は何回も出てきていますがあなたは一つも理解できていません。 理解するつもりなどないから当たり前ですが。 0631１３２人目の素数さん2019/12/07(土) 15:10:20.63ID:uZFmzNJe>>629 The set Z0 contains the elements 0, {0}, {{0}}, and so on
マイナスイオンとか一体何ですか？と尋ねたい 0711１３２人目の素数さん2019/12/08(日) 19:05:31.21ID:vpK8wLxE>>694 真の無限降下列ではない無限降下列の例まだ？ 0712１３２人目の素数さん2019/12/09(月) 02:55:55.18ID:UtQFSull 例ひとつ示せないってことは、自分でも分からずに言ってたんだなｗ バカ過ぎｗ 0713現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/13(金) 07:56:11.71ID:ljJF0g2A これが分り易いかも Foundation and epsilon-induction おサルでも読めるだろう 正則性公理が理解出来ていないんだよね（＾＾；
http://web.mat.bham.ac.uk/R.W.Kaye/logic/foundation.html Foundation and epsilon-induction (抜粋) 1. Introduction Either by examining the sets created in the first few levels of the cumulative hierarchy or from other means, via considering the idea of constructions of sets perhaps, we conclude that we do not expect sets to have infinite descending sequences x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋… at least for sets in the cumulative hierarchy of constructed sets. The axioms of Zermelo-Fraenkel set theory are intended to represent axioms true in this hierarchy, so we expect to have an axiom stating there can be no such descending sequence. Unfortunately, the statement that there is no such descending sequence is not first order, but second order. This is analogous to the fact that there are nonstandard structures satisfying all first order sentences of arithmetic true in N. However, the example of arithmetic provides at least one clue as to a powerful axiom scheme true in all structures without infinite descending chains: induction. Applied to set theory we have the axiom scheme of ∈-induction. Axiom Scheme of ∈-Induction: For all first order formulas ?(x,a??) of the language L∈, ∀a???(∀x?(∀y∈x??(y)→?(x))→∀x??(x,a??)). We are not going to adopt this as an axiom scheme for Zermelo Fraekel because it will follow from other axioms, and it will be instructive to see how that happens. We will, however, adopt the following special case of ∈-Induction. Axiom of Foundation: ∀x?(∃y?y∈x→∃y?(y∈x∧¬∃z?(z∈x∧z∈y))). Other ways of saying this include: if x is nonepty there is a set y∈x such that y∩x=?; and if x is nonepty there is an ∈-minimal y∈x i.e. one with no z∈x having z∈y. Proposition. The axiom of fountation follows from the axiom scheme of ∈-induction. Proof.
It can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P(x). This is a special case of well-founded induction. (引用終り) 以上 0715１３２人目の素数さん2019/12/13(金) 08:29:35.91ID:O4JQP8Jj 確認なんだけどスレ主は分かってないし当面理解するつもりもないんだよね？ なんで自分が現時点わかってないものを "これがわかりやすいかも" とかの発言ができるん？ 0716現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/13(金) 10:59:52.17ID:SYYzk3gC このバカ板で、バカ相手に、 自分が、「なにをどこまで分かっているか」なんてことを 説明するつもりも、必要もない
１．「信用」？ 数学は信用でやるものだったのか？ ２．５CHは、基本は匿名の名無しさんだよね？ 日替わりIDの匿名さんを「信用」？ バカじゃね（＾＾ ３．自ら、”自分は数学は不出来で、分かりません”と自白しているってことよね 0722現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土) 07:47:25.56ID:s6Tab8iq>>713 文字化けを直して、再引用しよう http://web.mat.bham.ac.uk/R.W.Kaye/logic/foundation.html Foundation and epsilon-induction (抜粋) 1. Introduction Either by examining the sets created in the first few levels of the cumulative hierarchy or from other means, via considering the idea of constructions of sets perhaps, we conclude that we do not expect sets to have infinite descending sequences x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋… at least for sets in the cumulative hierarchy of constructed sets. The axioms of Zermelo-Fraenkel set theory are intended to represent axioms true in this hierarchy, so we expect to have an axiom stating there can be no such descending sequence. Unfortunately, the statement that there is no such descending sequence is not first order, but second order. This is analogous to the fact that there are nonstandard structures satisfying all first order sentences of arithmetic true in N. However, the example of arithmetic provides at least one clue as to a powerful axiom scheme true in all structures without infinite descending chains: induction. Applied to set theory we have the axiom scheme of ∈-induction. Axiom Scheme of ∈-Induction: For all first order formulas Φ(x,a￣) of the language L∈, ∀a￣(∀x(∀y∈xΦ(y)→Φ(x))→∀xΦ(x,a￣)). We are not going to adopt this as an axiom scheme for Zermelo Fraekel because it will follow from other axioms, and it will be instructive to see how that happens. We will, however, adopt the following special case of ∈-Induction. Axiom of Foundation: ∀x(∃y y∈x→∃y(y∈x∧¬∃z(z∈x∧z∈y))). 0723現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土) 07:55:52.35ID:s6Tab8iq>>722 ＜Google翻訳＞（少し手直し） 基礎とイプシロン帰納 （抜粋） 1.はじめに 累積hierarchyの最初のいくつかのレベルで作成された集合を調べることによって、または他の手段から、おそらく集合の構築のアイデアを検討することにより、集合が無限の降順シーケンスを持つことを期待しないと結論付けます x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋… 少なくとも、構築された集合の累積hierarchy内の集合については。 Zermelo-Fraenkel集合理論の公理は、このhierarchyで真である公理を表すことを目的としているため、このような下降シーケンスは存在できないという公理を持つことが期待されます。 残念ながら、このような降順がないというステートメントは、1次ではなく2次です。 これは、Nで真の算術のすべての1次文を満たす非標準構造があるという事実に類似しています。 ただし、算術の例では、無限の降順チェーンのないすべての構造に当てはまる強力な公理スキームに関する少なくとも1つの手がかりが得られます。 集合論に適用すると、ε-帰納の公理スキームがあります。 ε-帰納の公理スキーム： 言語L∈のすべての一次式Φ（x、a￣）について、∀a￣（∀x（∀y∈xΦ（y）→Φ（x））→∀xΦ（x、a￣））。 Zermelo Fraekelの公理スキームとしてこれを採用するつもりはありません。これは他の公理から得られるものであり、それがどのように起こるかを知ることは有益だからです。ただし、次の特別なケースのε-Inductionを採用します。 基礎公理：∀x（∃yy∈x→∃y（y∈x∧¬∃z（z∈x∧z∈y）））。 0724現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土) 08:03:47.91ID:s6Tab8iq>>723 >累積hierarchyの最初のいくつかのレベルで作成された集合を調べることによって、または他の手段から、おそらく集合の構築のアイデアを検討することにより、集合が無限の降順シーケンスを持つことを期待しないと結論付けます >x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋… >少なくとも、構築された集合の累積hierarchy内の集合については。
