「Rにb'を掛けて」と書きつつ、実質的にやってることは
「特定の条件を満たすp,n,p_k,q_k を条件を崩さないように書き換える」で、
再構築されるyは完全数になる保証はなく、また、そこから導かれる式も使えなくなるのを無視して使ってしまっていますね
どこまでが「特定の条件」に含まれるかを勘違いしているのでしょうか？

「yが奇数の完全数」⇒「yの素因数分解が『条件X』を満たす」が真であるとき,
「yの素因数分解が『条件X』を満たす」⇒「yが奇数の完全数」は必ずしも真ではないのだけれど、うっかり使ってるようにしか見えない