奇数の完全数の有無について [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2017/01/09(月) 03:37:33.28

これについて誰か証明できませんか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/01/09(月) 12:24:02.89

出来るよ
(3^6151818)(5^816191)(7^81612)(11^7161)(13^61)(23)(59)(19173431197)
は完全数

**１３２人目の素数さん** · 2017/01/09(月) 13:12:53.16

>>2
約数全部教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2017/01/10(火) 09:22:51.87

p^q*rr の形のはずだが…
pは奇素数、
p≡q≡1 （mod 4)
r：奇数（pで割れない)。

**１３２人目の素数さん** · 2017/01/12(木) 00:01:48.01

>>2
計算してみたらなんかガチっぽくてわロタ…

**１３２人目の素数さん** · 2017/01/12(木) 18:20:25.53

>>2
約数の総和が(1+23)で、つまりは4で割りきれるのはおかしい

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/02/21(火) 17:08:53.09

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/02/21(火) 17:09:10.10

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/02/21(火) 17:09:27.86

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/02/21(火) 17:09:47.71

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/02/21(火) 17:10:04.00

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/02/21(火) 17:10:19.85

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/02/21(火) 17:10:36.43

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/02/21(火) 17:10:56.45

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/02/21(火) 17:11:15.58

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/02/21(火) 17:11:36.50

￥

**１３２人目の素数さん** · 2017/08/06(日) 17:57:37.72

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/08/06(日) 18:02:03.82

￥

**１３２人目の素数さん** · 2017/08/06(日) 18:02:17.04

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/08/06(日) 18:10:59.97

￥

**１３２人目の素数さん** · 2017/08/06(日) 18:11:09.38

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/11(日) 15:00:34.85

証明できたかもしれない

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1516423026/755

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/11(日) 15:38:33.99

検証してみます

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/11(日) 20:00:16.83

>>22 訂正
奇素数をy、その素因数のうち一つをp、pの指数をn、
p以外の素因数をp1,p2,p3,…pmとし、pkの指数をqk、
素数p以外の積の組み合わせの合計をxとすると
x=Σ[k=1,m]pk^qk

指数qmの値の合計は
S=Σ[k=1,m]qk
となる

yが完全数である場合
y=(1+p+p^2+…+p^n)x-y
となるから
(1+p+p^2+…+p^n)x/2=y
(p^(n+1)-1)x/(2(p-1))=y
(p-1/p^n)x/(2(p-1))=y/p^n

y/p^n=Π[k=1,m]pk^qkで奇数だから
左辺は分母が整数なので、分子も整数にならなければ
ならないので、xはp^nで割り切れなければならない

xは組み合わせの個数が2^Sであるから、S>0の場合には
偶数となるからxをp^nで割ることはできない。

よって、奇数の完全数は存在しない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/11(日) 20:08:58.02

>>24 訂正
×奇素数をy
〇合成数となる奇数をy

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/11(日) 21:50:06.58

>>24
＞x=Σ[k=1,m]pk^qk
x=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)とは違うの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/11(日) 23:08:44.33

>>26
その式が正しいと思います。

Sの式も
S=Π[k=1,m](qk+1)
の誤りであることが分かり、xが偶数になる
qkが一つでも奇数がある場合の証明と
なっていました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/12(月) 00:22:09.41

奇数の合成数をy、その素因数のうち一つをp、pの指数をn、
p以外の素因数をp1,p2,p3,…pmとし、pkの指数をqk、
素数p以外の積の組み合わせの合計をxとすると
x=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)

xの項数Sは
S=Π[k=1,m](qk+1)
となる

yが完全数である場合
y=(1+p+p^2+…+p^n)x-y
となるから
(1+p+p^2+…+p^n)x/2=y
(p^(n+1)-1)x/(2(p-1))=y
(p-1/p^n)x/(2(p-1))=y/p^n

y/p^n=Π[k=1,m]pk^qkで奇数であり、左辺は分母が整数なので
分子も整数にならなければならないので、xはp^nで割り切れ
なければならない

1. qkに一つでも奇数がある場合
xの項数Sが偶数となるので、xは偶数となるから
xをp^nで割ることはできない。

2. qkが全て偶数の場合
x=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
=Π[k=1,m](pk^(qk+1)-1)/(pk-1)

pk^(qk+1)-1がpで割り切れるためにはフェルマーの小定理から
sを非負整数として
qk+1=s(p-1)
となることが必要になるが、pは奇素数だから右辺は偶数と
なり、qkは奇数となり矛盾が生じる。
よって、pk^(qk+1)-1はpで割ることができない。

以上から、奇数の完全数は存在しない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/12(月) 06:02:55.64

惜しいね
＞xは偶数となるからxをp^nで割ることはできない。
偶数を奇素数で割り切れても不合理ではない
＞pk^(qk+1)-1がpで割り切れるためにはフェルマーの小定理から
＞sを非負整数としてqk+1=s(p-1)となることが必要
フェルマーの小定理が言っているのは必要条件ではなくて十分条件
つまりqk+1がp-1の倍数でないときにpk^(qk+1)-1がpで割り切れても不合理ではない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/12(月) 06:41:39.59

>>29
＞フェルマーの小定理が言っているのは必要条件ではなくて十分条件
＞つまりqk+1がp-1の倍数でないときにpk^(qk+1)-1がpで割り切れても不合理ではない

pk^(pk+1)がpで割り切れるためには
pk^(pk+1)≡1 (mod p) …①
が必要であり、フェルマーの小定理からaとpが互いに素であるとき
a^(p-1)≡1 (mod p) …②
となるから
pk+1=s(p-1)が成立するときに、①が成立する
ということがいえると考える

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/12(月) 07:02:50.77

必要条件ではなくて十分条件、というのは
sを非負整数として
＞pk+1=s(p-1)が成立するときに、①が成立するということがいえる
から、「①が成立する」ならば sを非負整数として「pk+1=s(p-1)が成立する」
とは必ずしも言えない。という意味です

例えば pk≡1 (mod p)であれば、任意の正整数nについて pk^n≡1 (mod p) です。
pk^(qk+1)≡1 (mod p) だけから、(qk+1) が p-1 の倍数とは言えないのです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/12(月) 07:09:43.74

>>4の人が言っている通り、
＞奇数の合成数をy、その素因数のうち一つをp、pの指数をn、
＞p以外の素因数をp1,p2,p3,…pmとし、pkの指数をqk
かつnが奇数ならばqkはすべて偶数であることは言えます。
まずはこれを証明してみてはいかがでしょう？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/12(月) 13:33:33.75

>>31
それでは、pをyの最大の素因数であるとすると
その問題は回避され2.の内容は正しくなると
思います。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/12(月) 15:04:29.41

なんで馬鹿は特定の例(例えばと書いてある)だけ避ければすべて解決すると思い込むのか
3^5-1=242は11の倍数だけど5は10の倍数じゃない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/12(月) 15:13:24.98

>>33
ならんね
素数pよりはるかに小さい次数で奇素数の冪の剰余が1になる例だってある
7^5≡1(mod 2801)とかね

素数pについて、pの倍数でない整数mがp-1より小さな正整数kでm^k≡1(mod p)とならなければmをpの原始根という
任意の素数pについて、pより小さい素数がすべてpの原始根かというとそうではない
上の例では素数2801に対して素数7は原始根でない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/12(月) 16:06:15.67

yが完全数である場合
y=(1+p+p^2+…+p^n)x-y
となるから
(1+p+p^2+…+p^n)x/2=y…①

1. qkに一つでも奇数がある場合
①から
(1+p+p^2+…+p^n)x/(2p^n)=y/p^n
y/p^n=Π[k=1,m]pk^qkで奇数であり、
分母は素因数2を一つ持ち、xは項数がSとなるので、qkが奇数
となる項の個数を非負整数tとするとxは素因数2をt個以上持つことに
なり偶数となる。
よって、1+p+p^2+…+p^nは奇数でなければならず、nは偶数でtは1で
なくてはならない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/12(月) 16:32:00.59

2. qkが全て偶数の場合
y/p^nは奇数であり、分母は素因数2を一つ持ち、qkが全て偶数の場合、
Sは奇数となるからxは奇数となる。よって1+p+p^2+…+p^n≡2 (mod 4)
とならなければならない。よって、uを正整数としてn=4u+1でなければ
ならない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 06:52:13.03

清書版

奇数の完全数をy、そのうち一つの素因数をp、pの指数をn、
p以外の素因数をp1,p2,p3,…pmとし、pkの指数をqk、
素数p以外の積の組み合わせの合計をxとすると
x=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk) …①

xの項数Sは
S=Π[k=1,m](qk+1) …②
となる

yが完全数である場合
y=x(1+p+p^2+…+p^n)-y
となるから
xΣ[k=0,n]p^k/2=y
xΣ[k=0,n]p^k/(2p^n)=y/p^n …③

1. qkに一つでも奇数がある場合
qkが奇数となる項の個数を正整数tとすると、
y/p^n=Π[k=1,m]pk^qkは奇数であり、左辺の分母は素因数2を
一つ持つので、②から、xは素因数2をt個以上持つことになり
偶数となる。
よって、Σ[k=0,n]p^kは奇数でなければならず、nは偶数でtは1で
なければならない。

2. qkが全て偶数の場合
y/p^nは奇数、左辺の分母は偶数であり、qkが全て偶数の場合に
Sは奇数となるから、xは奇数となる。よって、
Σ[k=0,n]p^k≡0 (mod 2)
となることが必要で、nは奇数でなければならない。

1,2から、奇数の完全数が存在するためには、
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 08:26:14.75

ｐとｐ以外に分ける意味なし

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 11:17:31.84

>>39
素数のうち一つを考えない証明プリーズ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 12:20:49.36

奇数の完全数は(存在するならば)「奇数の平方と奇素数の積となることが必要」って条件は広く知られてるしこれ以上掘り下げなくてもよくね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 13:20:17.52

>>38を書いていてｐが他の素数と同じ事やってるのに気付かないものか

Πp^nが奇数の完全数
Π(1+p+p^2+...+p^n)=2Πp^n
1+p+p^2+...+p^nの一つが偶数で残りは奇数
nの一つが奇数で残りは偶数

さらに進めると
1+p+p^2+...+p^nが偶数のときは4の倍数+2で
1+p+p^2+...+p^nは1+pの倍数だからpは4の倍数+1
1+p+p^2+...+p^nを4で割った余りとn+1を4で割った余りは等しいからnは4の倍数+1

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 18:24:27.81

>>42
1+3+9+27=40≡0 (mod 4)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 18:35:28.42

>>43
1+p+p^2+...+p^nが4の倍数だったらyが奇数にならないでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 19:34:59.44

>>38の続き

yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
なるが、pは整数であるからpはa-2bを約数に持ち、pが素数ある
ことに矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 19:55:36.75

もう無茶苦茶ですな

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/13(火) 23:02:53.32

>>45 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。

aはbで割り切ることができるから、整数dをd=a/bとすると
a-2b=bd-2b=b(d-2)
となる。b>1であることから、|a-2b|は1にならない。
よって、pは約数a-2bを持つことになり、素数であることに矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 01:10:47.47

＞p=(c-2b)/(a-2b) となる。
＞よって、pは約数a-2bを持つ
こういうこと言ってるようではアカンです

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 01:19:50.68

>>48
>>47では、|a-2b|>1としていますが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 01:56:32.95

>>49
よく考えようよ
＞p=(c-2b)/(a-2b)
から
(c-2b)は約数(a-2b)を持つ
ことは言えるけど
＞pは約数a-2bを持つ
とは言えんでしょうが

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 03:12:23.72

>>48
その部分は誤りでした。

>>47 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。

aはbで割り切れるから、整数dをd=a/bとすると
p=(d/p^n-2)/(d-2)
となるが、p^n>1であるから、p<1となりpが素数であることに矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 05:22:53.00

>>51
＞aはbで割り切れる
どうしてそう言い切れる？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 07:41:42.13

>>52
言い切れません。dは実数に変更します。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 07:44:59.01

>>52
有理数にしました。

>>51 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。

有理数dをd=a/bとすると
p=(d/p^n-2)/(d-2)
となるが、p^n>1であるから、p<1となりpが素数であることに矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 08:08:41.74

奇数であることを使ってないからその証明が正しいなら偶数の完全数も存在しないことになるからおかしいってことに気づけ

a/b=(2p^n)/(1+p+p^2+…+p^n)なんだからdは2より少し小さい数
(d/p^n-2)は-2より少し大きい数
(d-2)は0より少し小さい数
(d/p^n-2)/(d-2) は1より大きい数だから矛盾なんてしていない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 08:56:09.94

>>55
この証明は>>38から続いている

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 09:07:21.99

>>56
矛盾につながる部分に>>54の最初の行から上は全く使われてない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 10:10:25.97

>>54 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。

yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。

有理数dをd=a/bとすると
ap-2bp+2b=a/p^n
a(p-1/p^n)=2(p-1)b
d=2(p-1)/(p-1/p^n)

(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/pであり、pは2より大きい素数であるから
p>2+1/p^n
2(p-1)>p-1/p^n
2(p-1)/(p-1/p^n)>1
となるから、dは1<d<2(p-1)/p …④
の値をとる。

p=(2b-a/p^n)/(2b-a)
p=(2-d/p^n)/(2-d)

pは④の範囲で、変数dの単調増加関数であるから
(2-1/p^n)<p<(2-2(p-1)/(pp^n))/(2-2(p-1)/p) …⑤

右辺は
(2-2(p-1)/(pp^n))/(2-2(p-1)/p)
=(p-(p-1)/(p^n))/(p-(p-1))
=p-(p-1)/(p^n)
となるから、⑤は
(2-1/p^n)<p<p-(p-1)/(p^n)
となるが
p<p-(p-1)/(p^n)は成立することはないから、④は成立しない。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 10:17:04.79

>>58 訂正
×p<p-(p-1)/(p^n)は成立することはないから、④は成立しない。
〇p<p-(p-1)/(p^n)は成立することはないから、⑤は成立しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 10:28:19.01

＞(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/pであり、pは2より大きい素数であるから

p-1/p^n<pだから(p-1)/p<(p-1)/(p-1/p^n)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 11:11:34.80

＞a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
＞b=Π[k=1,m]pk^qk
＞a/p^nは整数となりこれをcとする
＞p=(c-2b)/(a-2b) となる。
aと2bの大小は定義からは明らかでない。したがって場合わけをする

1)a＞2bの場合
以下の主張は正しいように思われる
＞有理数dをd=a/bとするとp=(d/p^n-2)/(d-2)となるが、
＞p^n>1であるから、p<1となりpが素数であることに矛盾する。

2)a＝2bの場合
これは即ちbが奇数の完全数であることを示している
そのような例が存在するかは別途証明が必要

3)a＜2bの場合
p=(2b-a/p^n)/(2b-a)となる。
pは奇素数であるから(2b-a/p^n)/(2b-a)≧3
よってこの場合、2b/aについて解くと
3/2-1/(2p^n)≧2b/a＞1
であることが必要といえる

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 11:45:30.65

>>61
2)a＝2bの場合
(2b-a/p^n)=(2b-a)pの式は
左辺は0でなく、右辺は0であるため成立しない

以上より「3)a＜2bの場合」であることが必要

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 22:14:46.43

正整数Nの正の約数の総和とNの比を「Nの約数和比」というとして、
正整数Nが完全数であることはNの約数和比が2であることと同値である。
素数pと正整数qについて、D(p,q)をp^qの約数和比と定義するとき、
素因数分解表示N=Π[k=1→m]pk^qk(i≠jのとき素数pi≠素数pj,かつqk≧1)を持つ
正整数Nについて、Nの約数和比はΠ[k=1→m]D(pk,qk)であるから、このとき、
正整数Nが完全数であるということはΠ[k=1→m]D(pk,qk)=2と同値である。

ところで、D(p,q)=Σ([j=0→q]p^j)/p^q=1+(1-1/p^q)/(p-1)であるから、
任意の素数pと正整数qについて1＜D(p,q)＜2である。
1＜D(pk,qk)であるから、D(pk,qk)は1つ乗じる毎に約数和比は必ず増加する。
D(pk,qk)を乗じてゆくといつか2を超える(ここでは「バーストする」と表現する)かもしれない。
D(p,q)の性質を調べ、それらを幾つどのように掛け合わせればバーストするかしないかを
調べることは、奇数の完全数の存在性を調べる為に有用であると考える。
・D(p,q)は、定義域でqについて単調増加である。（つまりq1＜q2⇒D(p,q1)＜D(p,q2)）
・D(p,1)=1+1/p,D(p,2)=1+(p+1)/pp,...,lim[q→∞]D(p,q)=1+1/(p-1)であり、
　任意の素数pと自然数q≧1について1+1/p≦D(p,q)＜1+1/(p-1)である
・D(p,q)は、定義域でpについて単調減少である。（つまりp1＜p2⇒D(p1,q)＞D(p2,q)）

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 22:15:55.93

>>63のつづき
これらの性質を使うと、例えば以下のことが言える
・奇数の完全数は少なくとも3種類の素因数を持つ
　∵1＜D(p1,q1)＜2のため1種類の奇素数を素因数に持つN=p1^q1は完全数でない。
　　2種類の奇素数を素因数に持つN=p1^q1・p2^q2は、p1=3,p2=5のとき
　　約数和比はD(3,q1)D(5,q2)＜(1+1/2)(1+1/4)=15/8＜2であり、
　　他の奇素数の組み合わせではこれよりも更に小さくなる。
・奇数の完全数がちょうど3種類の素因数を持つならば、最大の素因数は7を超える
　∵3つの素数p1≦p2≦p3を7以下の奇素数の組み合わせで選ぶとp1=3,p2=5,p3=7であるが、
　　pk≡1(mod 4)となるpkがp2=5のみなのでq2は奇数、q1,q3は偶数である。
　　約数和比の下界はD(3,2)D(5,1)D(7,2)=(1+4/9)(1+1/5)(1+8/49)=494/245＞2
　　となり、D(3,q1)D(5,q2)D(7,q3)はこれより大きいので必ずバーストする。
とまあ、こんな感じでひとつひとつ性質を調べていって積み上げることになるのでは。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 22:32:56.83

>>38と>>58でQ.E.D.ではないかと思います
acceptだと聞こえてきていますし

本当かどうかは分かりませんが

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/14(水) 23:03:31.91

>>58
＞(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/pであり、
この部分が誤り

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 00:08:43.55

>>66
その部分は不等号が反対でした。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 00:10:40.87

>>58 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。

有理数dをd=a/bとすると
ap-2bp+2b=a/p^n
a(p-1/p^n)=2(p-1)b
d=2(p-1)/(p-1/p^n)

(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/(p-1/p)
(p-1)/(p-1/p^n)<p/(p+1)
であり、pは2より大きい素数であるから
p>2+1/p^n
2(p-1)>p-1/p^n
2(p-1)/(p-1/p^n)>1
となるから、dは1<d<p/(p+1) …④
の値をとる。

p=(2b-a/p^n)/(2b-a)
p=(2-d/p^n)/(2-d)

pは④の範囲で、変数dの単調増加関数であるから
(2-d/p^n)<p<(2-p/((p+1)p^n))/(2-p/(p+1)) …⑤

右辺は
(2-p/((p+1)p^n))/(2-p/(p+1))
=(2p+2-p/p^n)/(p+2)
=2+(2-p/p^n)/(p+2)<3
となり、⑤から
(2-d/p^n)<p<3
が成立することから、pが素数であることに矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 00:26:08.61

>>68
×pが素数であることに矛盾する。
〇pが奇素数であることに矛盾する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 00:32:44.29

p=3とすれば6という完全数も存在しないことになるな

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 00:43:44.20

>>68 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。

有理数dをd=a/bとすると
ap-2bp+2b=a/p^n
a(p-1/p^n)=2(p-1)b
d=2(p-1)/(p-1/p^n)

p=(2b-a/p^n)/(2b-a)
p=(2-d/p^n)/(2-d) …④

(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/(p-1/p)
(p-1)/(p-1/p^n)<p/(p+1)
であり、pは2より大きい素数であるから
p>2+1/p^n
2(p-1)>p-1/p^n
2(p-1)/(p-1/p^n)>1
となるから、dは1<d<p/(p+1) …⑤
の値をとる。

p/(p+1)<1であるから、⑤を満たす整数dが存在しないので
④を満たす素数pは存在しない。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 00:45:14.00

>>70
奇数の完全数が存在しないことの証明をしています

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 01:01:57.70

>>72
偶数には使えないことは使ってないから偶数の完全数も存在しないことになるが

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 01:12:54.81

>>73
pが2より大きい素数をいう条件が途中にある

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 01:18:12.00

y=6でp=3とすれば矛盾するんだろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 01:28:31.08

6が完全数だとするとy=6,p=3として>>71を使うと1<d<3/4となって矛盾するから6は完全数じゃない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 01:42:26.35

＞(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/(p-1/p)
これマチガイよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 02:05:41.39

>>77
じゃないか
＞d=2(p-1)/(p-1/p^n)
＞(p-1)/(p-1/p^n)<p/(p+1)であり、
＞となるから、dは1<d<p/(p+1) …⑤
2を掛けるの忘れてるよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/15(木) 02:39:10.90

>>71
この方向性ではいくらやってもダメなのよ

｜a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
｜b=Π[k=1,m]pk^qk
｜y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b

から、a/b＝2p^n/(1+p+p^2+…+p^n) こうなるんだけれども
左辺＝a/b＞1は定義より明らか
右辺＝2p^n/((p^(n+1)-1)/(p-1))
＝2p^n(p-1)/(p^(n+1)-1)
＝(2p^(n+1)-2p^n)/(p^(n+1)-1)
＝((p^(n+1)-2p^n+1)+(p^(n+1)-1))/(p^(n+1)-1)
＝(p^(n+1)-2p^n+1)/(p^(n+1)-1)+1
＝((p-2)p^n+1)/(p^(n+1)-1)+1
なのでp≧2なら右辺＞1
だからこの式をいくらいじってもd＝a/b＜1は出てこない

また、1＜d＜2のときp=(2-d/p^n)/(2-d)＞1だから、
この式をいくらいじってもp＜1は出てこない
出てきたとしたら導出が誤っている

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 07:59:42.15

>>71 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。

y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。

有理数dをd=a/bとすると
p=(2-d/p^n)/(2-d)

b=Π[k=1,m]pk^qkだから、
b≢0 (mod p)

正整数e,fとして、
b=ep+f
0<f<p
b≡f (mod p)
が成立する

c-2b≡0 (mod p)
c≡2b≡2f (mod p)
c≢0 (mod p)

ap-2bp+2b=c
ap-c=2b(p-1)

2b=(ap-c)/(p-1)

正整数g,h、h≡2f (mod p), 0<h<p
2b=(ap-c)/(p-1)=gp+h
ap-c=gp^2+hp-gp-h
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 08:02:23.66

>>80 つづき
-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)

整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi

c-h≡gi≡0 (mod p)
整数jを用いて
pj=gi
p=gi/j

pは素数だから、i=1で、g=pjでなければならい。
g≡0 (mod p)

2b=jp^2+h

c-h≡0 (mod p)だから、整数をk(0<k<p)として
c=pk+h

ap-2bp+2b=c

ap=2b(p-1)+c
=(jp^2+h)(p-1)+pk+h
=jp^3+ph-jp^2-h+pk+h
=jp^3+ph-jp^2+pk

a=jp^2-jp+h+k
∴a≡h+k (mod p)

c=pk+hで、c,pはともに奇数であるから、hとkの偶奇は反対になり、
h+kは奇数となる。

整数をmとして
a=mp+h+k

a-2b=mp+h+k-(jp^2+h)=mp-jp^2+k≡k (mod p)
c-2b=pk+h-(jp^2+h)=pk-jp^2≡0 (mod p)
a-c≡k (mod p)

a≡h+k (mod p)
c≡h (mod p)だから、2b≡c≡h (mod p)

gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0

p^3-p(p+a-h)+c-h=0
p^3-p^2+(-a+h)p+c-h=0
p^2(p-1)+h(p-1)-ap+c=0

ap-c≡0 (mod p-1)

ap-c-a(p-1)=a-c≡0 (mod p-1)
a-c≡k (mod p)
a-c≡0 (mod p-1)

整数をsとして
a-c=ps+k
ここで、a-cは偶数だから、sとkの偶奇は反対になっている。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 08:03:07.57

>>81 つづき
整数をtとして
a-c=(p-1)t

ps+k=(p-1)t
k+t=(t-s)p
k+t≡0 (mod p)

整数をuとして
k=up-t
a-c=(p-1)(up-k)
a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
a/(p^n(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1))=up-k
a=(up-k)p^n(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)

a≡0 (mod p)
c≡-k (mod p)

a≡h+k (mod p)で、a≡0 (mod p)、0<h,k<pだから
h+k=p

a=jp^2-jp+h+k
a=jp^2-jp+p=jp(p-1)+p

a≡1 (mod p-1)

整数をvとして
a=v(p-1)+1

a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
(v(p-1)+1)((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)

(p^n-1)/p^n≡0 (mod p-1)
(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n≡0 (mod p-1)

整数wとして
(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n=w(p-1)

w=(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)/p^n
wp^n=p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1

wp^n≡0 (mod p)
p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1≡1 (mod p)

となり、wが整数になることに矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**DJ学術** · 2018/02/16(金) 08:45:53.89

東アジアなら　兵糧、金、兵士数の実数の　ほうが大事だと思われ。
僕は１なんて数を打ち続けても、レア化しないで、直観数術にならないし、
駄目だと思うけどなあ。虚数となるとさらに。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 09:58:09.93

>>81 長いね
＞pj=gi
＞pは素数だから、i=1で、g=pjでなければならい
iがpの倍数でないとなぜ言えるの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 11:23:04.07

>>84
やっぱりか
＞gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
＞整数iを用いて
＞p(-a+h)+c-h=gi
よりgp^2-gp+gi=0であり、i=p-p^2
新しい変数を持ち出すときは、その意味するところを考えた方がいい

**DJ学術** · 2018/02/16(金) 12:26:08.67

数学は一度部分点が出たぐらいで意外に特異な方。確率統計は
ギャンブル好きだから、確実には極めない方がよい。

**DJ学術** · 2018/02/16(金) 12:38:53.17

記号が簡単すぎて幼いころに積み上げた数学が台無しになる。数も小数点
分数、数自体の集合分岐がないから、つまらないものにしたくない。

**DJ学術** · 2018/02/16(金) 12:46:04.61

数式を血統と数式で議論するのも本末転倒だが、詩学と数学の相性を考えると、
数式は真　空　中に建てる方が　綺麗かもしれない。将来は。
私は他者であり、数学は自分だ。

般若心経よりもいいのか。はたして。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 12:58:37.75

>>82
＞a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
＞a/(p^n(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1))=up-k
ここの変換も違う
分母と分子を取り違えてる

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 15:30:39.59

>>89
その部分は計算の誤りでした。

>>82 訂正
>>81 つづき
整数をtとして
a-c=(p-1)t

ps+k=(p-1)t
k+t=(t-s)p
k+t≡0 (mod p)

整数をuとして
k=up-t
a-c=(p-1)(up-k)
a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
a(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
a(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)=(up-k)p^n

a≡0 (mod p)
c≡-k (mod p)

a≡h+k (mod p)で、a≡0 (mod p)、0<h,k<pだから
h+k=p

a=jp^2-jp+h+k
a=jp^2-jp+p=jp(p-1)+p

a≡1 (mod p-1)

整数をvとして
a=v(p-1)+1

a((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)
(v(p-1)+1)((p^n-1)/p^n)=(p-1)(up-k)

(p^n-1)/p^n≡0 (mod p-1)
(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n≡0 (mod p-1)

整数wとして
(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)(p-1)/p^n=w(p-1)

w=(p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1)/p^n
wp^n=p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1

wp^n≡0 (mod p)
p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1≡1 (mod p)

となり、wが整数になることに矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 15:43:21.81

>>90
＞(p^n-1)/p^n≡0 (mod p-1)
左辺は整数じゃないよねえ…

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 15:49:33.23

>>90
あと、
＞a≡h+k (mod p)で、a≡0 (mod p)
これはg≡0(mod p)が証明できてないから言えない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 16:18:11.83

>>92
>>81に書いてあります。

>>38, >>80-81, >>90が正しいと思われるレスです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/16(金) 16:35:15.40

>>93
>>84>>85で指摘した通りです

**DJ学術** · 2018/02/16(金) 20:06:21.75

奇数に完全がないのは当たり前だが奇数を経て完全というのもおかしい話だな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/17(土) 00:46:55.71

>>64
二番目のは３種類に限らない
４種類以上でも成り立つ
つまり３と５と７を同時に約数にもつ完全数は存在しない
言い換えると、１０５の倍数は完全数でない

**DJ学術** · 2018/02/17(土) 08:13:55.42

約数といったって　詩を引いて隠す感じが大事であって、数よりクオリア向きだよな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 08:38:15.10

>>81 訂正
-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)

整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi

gp^2-gp+gi=0
i=p-p^2

i≡0 (mod p)
i≡0 (mod p-1)
iは1-pを約数に持つから偶数となる。

整数jを用いて
pj=gi

pj=g(p-p^2)
j=(1-p)g=g-gp

j≡0 (mod g)
j≡0 (mod p-1)
jは1-pを約数に持つから偶数となる。

g≡j (mod p) …④

c-h≡0 (mod p)だから、整数をk(0<k<p)として
c=kp+h
c,pはともに奇数であるから、hとkの偶奇は逆になる。

ap-2bp+2b=c

ap=2b(p-1)+c
=(gp+h)(p-1)+kp+h
=gp(p-1)+hp+kp

a=g(p-1)+h+k
a=gp-g+h+k

∴a≡-g+h+k≡0 (mod p)
g≡h+k (mod p)
hとkの偶奇は逆だから、h+kは奇数となるが
④の右辺は偶数であるから矛盾が生じる。
よって、上記の整数b,gは存在しない。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 08:40:09.00

全ての証明は
>>38, >>80, >>98
となります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 08:59:19.96

10≡7(mod.3)だけど矛盾はしてないな

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 09:27:17.54

>>98
うん。矛盾しないね
＞g≡h+k (mod p)
＞hとkの偶奇は逆だから、h+kは奇数となるが
＞④の右辺は偶数であるから矛盾が生じる。
pは奇数だからね
偶数≡奇数 (mod p) でも何も問題ない

あのさ、いい加減書き込む前に自分で検証しようよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 09:49:06.74

>>101
④の右辺はjでjは偶数。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 10:07:03.69

>>101
j=h+kとはいえんでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/18(日) 11:01:24.94

test

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 17:23:30.07

>>80 から訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。

yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。

y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、整数をa,bとし
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。

有理数dをd=a/bとすると
p=(2-d/p^n)/(2-d)

b=Π[k=1,m]pk^qkだから、
b?0 (mod p)

正整数e,fとして、
b=ep+f
0<f<p
b≡f (mod p)
が成立する

c-2b≡0 (mod p)
c≡2b≡2f (mod p)
c?0 (mod p)

ap-2bp+2b=c
ap-c=2b(p-1)

2b=(ap-c)/(p-1)

正整数g,h、h≡2f (mod p), 0<h<pとすると
2b=(ap-c)/(p-1)=gp+h
ap-c=gp^2+hp-gp-h
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0

gp+hが偶数になることから、gとhの偶奇は一致する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 17:24:41.85

>>105 つづき
-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)

c-h≡0 (mod p)

整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi

gp^2-gp+gi=0
i=p-p^2

i≡0 (mod p)
i≡0 (mod p-1)
iは1-pを約数に持つから偶数となる。

整数jを用いて
pj=gi

pj=g(p-p^2)
j=(1-p)g=g-gp

j≡0 (mod g)
j≡0 (mod p-1)
jは1-pを約数に持つから偶数となる。

g≡j (mod p)

c-h≡0 (mod p)だから、整数をkとして
c=kp+h
c,pはともに奇数であるから、hとkの偶奇は逆になる。

ap-2bp+2b=c

ap=2b(p-1)+c
=(gp+h)(p-1)+kp+h
=gp(p-1)+hp+kp

a=g(p-1)+h+k
a=gp-g+h+k
∴a≡-g+h+k≡0 (mod p)
g≡h+k (mod p)

a=gp-g+h+k=g(p-1)+h+k
c≡a≡h+k (mod p-1)

gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
p=(-(-a-g+h)±√((-a-g+h)^2-4g(c-h)))/(2g)
-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、

p=(-(-gp-k)±√((-gp-k)^2-4kgp))/(2g)
=(gp+k±√((gp-k)^2)/(2g)
=(gp+k±(gp-k)/(2g)
=p, k/g

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 17:25:36.01

>>107 つづき
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。

gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0から
gp(p-1)+h(p-1)-ap+c=0
gp(p-1)+h(p-1)-c(p^n-1)=0
gp+h-c(p^(n-1)+…+1)=0
2b-c(p^(n-1)+…+1)=0
cとp^(n-1)+…+1は両方とも奇数であるから、上式は成立しないので
条件を満たす整数b,cは存在しない。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 17:33:08.92

>>105
?になっていることろは、?です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 17:34:12.19

>>108
?は≡の否定の記号です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 18:35:39.94

ap=cp^(n+1)が間違ってるし
cとp^n+…+1は両方とも奇数にはならない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 18:39:15.43

＞y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b

ここに戻っただけ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 21:55:28.98

>>107 あわてんぼさんね
｜gp(p-1)+h(p-1)-ap+c=0
｜gp(p-1)+h(p-1)-c(p^n-1)=0
この導出が違うとこね

gp(p-1)+h(p-1)-ap+c=0
gp(p-1)+h(p-1)-(cp^n)p+c=0
gp(p-1)+h(p-1)-c(p^(n+1)-1)=0 が正解
p-1で割っても 2b-c(p^n+…+1)=0 となり矛盾しない

何度も言われてるけど検算しましょう

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 22:03:24.65

>>107
｜gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
｜p=(-(-a-g+h)±√((-a-g+h)^2-4g(c-h)))/(2g)
｜-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、
｜p=(-(-gp-k)±√((-gp-k)^2-4kgp))/(2g)
｜=(gp+k±√((gp-k)^2)/(2g)
｜=(gp+k±(gp-k)/(2g)
｜=p, k/g
ここの部分は p=p であることを再確認しているだけで無意味
-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、 gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0 が恒等式になるのです

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 22:58:44.71

>>105-107 訂正
yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。

yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。

y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk

ここで、整数をa,bとし
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると

y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a

(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。

有理数dをd=a/bとすると
p=(2-d/p^n)/(2-d)

b=Π[k=1,m]pk^qkだから、
b≢0 (mod p)

正整数e,fとして、
b=ep+f
0<f<p
b≡f (mod p)
が成立する

c-2b≡0 (mod p)
c≡2b≡2f (mod p)
c≢0 (mod p)

ap-2bp+2b=c
ap-c=2b(p-1)

2b=(ap-c)/(p-1)

正整数g,h、h≡2f (mod p), 0<h<pとすると
2b=(ap-c)/(p-1)=gp+h
ap-c=gp^2+hp-gp-h
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0

gp+hが偶数になることから、gとhの偶奇は一致する。 …(1)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 23:00:28.44

>>114 つづき
-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)

c-h≡0 (mod p)

整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi

gp^2-gp+gi=0
i=p-p^2

i≡0 (mod p)
i≡0 (mod p-1)
iは1-pを約数に持つから偶数となる。

整数jを用いて
pj=gi

pj=g(p-p^2)
j=(1-p)g=g-gp

j≡0 (mod g)
j≡0 (mod p-1)
jは1-pを約数に持つから偶数となる。

g≡j (mod p)

c-h≡0 (mod p)だから、整数をkとして
c=kp+h
c,pはともに奇数であるから、hとkの偶奇は逆になる。 …(2)

ap-2bp+2b=c

ap=2b(p-1)+c
=(gp+h)(p-1)+kp+h
=gp(p-1)+hp+kp

a=g(p-1)+h+k
a=gp-g+h+k
∴a≡-g+h+k≡0 (mod p)
g≡h+k (mod p)

a=gp-g+h+k=g(p-1)+h+k
c≡a≡h+k (mod p-1)

gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
p=(-(-a-g+h)±√((-a-g+h)^2-4g(c-h)))/(2g)
-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、

p=(-(-gp-k)±√((-gp-k)^2-4kgp))/(2g)
=(gp+k±√((gp-k)^2)/(2g)
=(gp+k±(gp-k)/(2g)
=p, k/g

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 23:01:06.54

>>115 つづき
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。

2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、n=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となる。

a-c=(g-k)(p-1)より、
g-k=(kp+h)(p^(n-1)+…+1)
g=c(p^(n-1)+…+1)+k
g≡(h+k)(p^(n-1)+…+1)+k (mod p-1)

p^(n-1)+…+1=(p^(n-1)-1)+1+(p^(n-2)-1)+1…+(p-1)+1+1)から
p^(n-1)+…+1≡n (mod p-1)となるので
g≡n(h+k)+k (mod p-1)
∴g-k≡n(h+k)

2b-c≡g-k≡n(h+k)≡nc (mod p-1)
(n+1)c≡2b (mod p-1)
(4m+2)c≡2b (mod p-1)
b≡(2m+1)c (mod p-1)

b≡g+h (mod p-1)より、
g+h≡(2m+1)(h+k) (mod p-1)
g≡2mh+(2m+1)k (mod p-1)

となり、gとkの偶奇が一致するが、これは(1)、(2)の条件と矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 23:50:57.72

｜(4m+2)c≡2b (mod p-1)
｜b≡(2m+1)c (mod p-1)
p-1は2の倍数なのでこういう導出はしちゃダメです。
(4m+2)c-2b が p-1の倍数だからと言って (2m+1)c-b が p-1の倍数とはいえません

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 00:35:51.68

>>117
計算間違いを直しました。

>>116 訂正
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。

2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となる。

a-c=(g-k)(p-1)より、
g-k=(kp+h)(p^(n-1)+…+1)
g=c(p^(n-1)+…+1)+k
g≡(h+k)(p^(n-1)+…+1)+k (mod p-1)

p^(n-1)+…+1=(p^(n-1)-1)+1+(p^(n-2)-1)+1…+(p-1)+1+1)から
p^(n-1)+…+1≡n (mod p-1)となるので
g≡n(h+k)+k (mod p-1)
∴g-k≡n(h+k)

2b-c≡g-k≡n(h+k)≡nc (mod p-1)
(n+1)c≡2b (mod p-1)
(4m+2)c≡2b (mod p-1)

整数をrとして、p-1=4qとすると、
(4m+2)c-2b=4qr
(2m+1)c-b=2qr

1. rが奇数のとき
(2m+1)c-b≡2qr (mod p-1)
b≡g+h (mod p-1)より、
g+h≡(2m+1)(h+k)-2qr (mod p-1)
g≡2(mh-qr)+(2m+1)k (mod p-1)

2. rが偶数のとき
(2m+1)c-b≡0 (mod p-1)
b≡(2m+1)c
b≡g+h (mod p-1)より、
g+h≡(2m+1)(h+k) (mod p-1)
g≡2mh+(2m+1)k (mod p-1)

1.、2.の両方の場合で、gとkの偶奇が一致するが、
これは(1)、(2)の条件と矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 00:37:29.27

>>118 訂正
＞g≡2(mh-qr)+(2m+1)k (mod p-1)
g≡2(mh-qr)h+(2m+1)k (mod p-1)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 00:49:28.95

いつになったら自分で確認できるようになるのか
>b≡g+h (mod p-1)より
なんて出るわけないだろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 12:52:50.05

>>120
また、計算間違いを直しました。

>>118 訂正
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。

2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。

④のpに関する2次方程式が、p=4q+1とk/gの２解を持つとすると
以下の式が成立しなければならない。
g(p-4q+1)(p-k/g)-gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
(-4gq+g-k)p+4kq-k-((-a-g+h)p+c-h)=0
(a-4gq+2g-k-h)p+4kq-k-c+h=0
ap-c+(-4gq+2g-k)p+4kq-k-h(p-1)=0

ap-c=2b(p-1)から
ap-c≡0 (mod p-1)を用いると
-4gq+2g-2k+4kq≡0 (mod p-1)

rを整数として、
-4gq+2g-2k+4kq=r(p-1)
-2gq+g-k+2kq=r(p-1)/2
p-1は4の倍数となるから、(p-1)/2が偶数となるから
右辺は偶数になり、gとkの偶奇は一致することになる。
しかしこれは、(1)、(2)に矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 13:55:31.17

>>121
＞④のpに関する2次方程式が、p=4q+1とk/gの解を持つとすると
p=k/gだと矛盾すると自分で言っておきながらなぜそういう仮定をするのか
最初から正しくない式を持ち出してそこから矛盾を引き出すことを背理法とは言いません

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 14:11:26.90

>>121
＞④のpに関する2次方程式が、p=4q+1とk/gの２解を持つとすると
以下の式が成立しなければならない。
＞g(p-4q+1)(p-k/g)-gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
最初の1の符号が違う
g(p-4q-1)(p-k/g)-gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
この式を同じように変形するとg-kの項は消える

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 16:02:43.64

>>123
訂正します。

＞g(p-4q+1)(p-k/g)-gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0
g(p-4q+1)(p-k/g)-(gp^2+(-a-g+h)p+c-h)=0

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 16:22:38.54

>>121 訂正
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。

2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。

④のpに関する2次方程式が、p=4q+1とk/gの２解を持つとすると
gp^2-4gqp+gp-kp+4kq-k-(gp^2+(-a-g+h)p+c-h)=0
-4gqp+gp-kp+4kq-k-((-a-g+h)p+c-h)=0
(-4gq+2g-k+a-h)p+4kq-c-k+h=0
ap-c+2gp-4gqp+4kq-(p+1)k-h(p-1)=0

ap-c=2b(p-1)から
ap-c≡0 (mod p-1)を用いると
-4gq+2g-2k+4kq≡0 (mod p-1)

rを整数として、
-4gq+2g-2k+4kq=r(p-1)
-2gq+g-k+2kq=r(p-1)/2
p-1は4の倍数であり、(p-1)/2が偶数となるから
右辺は偶数になり、gとkの偶奇は一致することになる。
しかしこれは、(1)、(2)に矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 17:28:08.07

>>125
ダメ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 19:57:22.76

>>124
｜g(p-4q+1)(p-k/g)-(gp^2+(-a-g+h)p+c-h)=0
この式も間違いです。p=4q+1が解となるには以下でないといけません
g(p-(4q+1))(p-k/g)-(gp^2+(-a-g+h)p+c-h)=0
　

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/21(水) 08:38:44.42

>>127
計算が間違えてました。

>>125 訂正
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。

2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。

p=(c-2b)/(a-2b)、c-2b=(k-g)pより
a-2b=k-g
a-c=a-2b-(c-2b)=k-g-(k-g)p=(g-k)(p-1)

g-k=(a-c)/(p-1)=(p^n-1)c/(p-1)
g-k=c(p^(n-1)+…+1)
g=c(p^(n-1)+…+1)+k
g≡(h+k)(p^(n-1)+…+1)+k (mod p-1)

p^(n-1)+…+1=(p^(n-1)-1)+1+(p^(n-2)-1)+1…+(p-1)+1+1)から
p^(n-1)+…+1≡n (mod p-1)となるので
g≡n(h+k)+k (mod p-1)

n=4m+1であるから
g≡(4m+1)h+(4m+2)k (mod p-1)
となり、gとhの偶奇が異なるが、これは(1)と矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/21(水) 14:42:40.83

>>128
＞g≡(4m+1)h+(4m+2)k (mod p-1)
＞となり、gとhの偶奇が異なる
なにゆえ？
g≡奇数×h+偶数 (mod 偶数) なのに？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 07:19:59.39

>>85
i=p-p^2が答えでした。だいぶ遠回りをしましたが。

>>129
その通りでございます。

>>115 訂正
-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)

c-h≡0 (mod p)

整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi

gp^2-gp+gi=0
i=p-p^2

p^2-p+i=0
p=(1±√(1-4i))/2

pが整数となるためにはi=0
このとき、pは0か1となるため、奇素数pは存在しない。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 09:26:32.77

i=p-p^2と書いてる時点でiは負の整数なんだなと思わないのか

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 09:58:48.54

わざと間違えたふりをして煙に巻こうとしてるんだからたちが悪い

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 10:11:00.48

>>130
書くまでもありゃしないが
i=p-p^2
だったら
p=(1+√(1-4i))/2
=(1+√(1-4(p-p^2)))/2
=(1+√(1-4p+4p^2))/2
=(1+(2p-1))/2=2p/2=p
なーんもおかしくない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 12:55:08.55

>>132
本当に間違えています。調子が悪いと思います。

>>131,133
誤りを直しました。

>>130 訂正
p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。

2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。

p^2-p+i=0
p=(1±√(1-4i))/2

ap-c-h(p-1)=-gi
(p^(n+1)-1)c-h(p-1)=-gi
(p-1)((p^n+…+1)c-h)=-gi
(p-1)((p^n+…+1)c-h)=gp(p-1)
gp=(p^n+…+1)c-h

(p^n+…+1)c-h>=(p+1)c-h>c+p-h>c>0だから、
g>0
となる。よって
(p-1)((p^n+…+1)c-h)>0
から
i<0

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 12:55:53.18

>>134 つづき
p>0となるのは、
p=(1+√(1-4i))/2
のときである。
pはqを整数として、
p=4q+1とならなければならないので

4q+1=(1+√(1-4i))/2
8q+2=1+√(1-4i)
√(1-4i)=8q+1

1-4i=64q^2+16q+1

-4i=64q^2+16q

i≡0 (mod p-1)
だからiは偶数であり、√(1-4i)が整数になるために
奇数をsとして、
s=-i/2 (s>0)

8s=64q^2+16q
s=8q^2+2q
となり、sは偶数となり矛盾がおきる。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 14:26:03.34

根拠のない思い込みやめろよ

>奇数をsとして、

iはp-1(4の倍数)の倍数だからこんなのでないだろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 18:42:34.80

俺たちはメルセンヌ素数追いかけることしかできない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/23(金) 00:30:28.68

>>136
ただの計算間違いです。

>>115 訂正
-ap+hp+c-h≡0 (mod g)
p(-a+h)+c-h≡0 (mod g)

c-h≡0 (mod p)

整数iを用いて
p(-a+h)+c-h=gi

gp^2-gp+gi=0
i=p-p^2

i≡0 (mod p)
i≡0 (mod p-1)
iは1-pを約数に持つから偶数となる。

整数jを用いて
pj=gi

pj=g(p-p^2)
j=(1-p)g=g-gp

j≡0 (mod g)
j≡0 (mod p-1)
jは1-pを約数に持つから偶数となる。

g≡j (mod p)

c-h≡0 (mod p)だから、整数をkとして
c=kp+h
c,pはともに奇数であるから、hとkの偶奇は逆になる。 …(2)

ap-2bp+2b=c

ap=2b(p-1)+c
=(gp+h)(p-1)+kp+h
=gp(p-1)+hp+kp

a=g(p-1)+h+k
a=gp-g+h+k
∴a≡-g+h+k≡0 (mod p)
g≡h+k (mod p)

a=gp-g+h+k=g(p-1)+h+k
c≡a≡h+k (mod p-1)

gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0 …④

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/23(金) 00:31:54.34

>>138 つづき
gp^2+(-a-g+h)p+c-h=0 …④
p=(-(-a-g+h)±√((-a-g+h)^2-4g(c-h)))/(2g)
-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、

p=(-(-gp-k)±√((-gp-k)^2-4kgp))/(2g)
=(gp+k±√((gp-k)^2)/(2g)
=(gp+k±(gp-k)/(2g)
=p, k/g

④の方程式がpとk/gの２解を持つxの２次方程式だとすると
gx^2+(-a-g+h)x+c-h=0 …⑤

g(x-p)(x-k/g)=0
(x-p)(gx-k)=0
gx^2-(gp+k)x+kp=0
上式と⑤のxの1次式の項の係数を比較すると
gp+k=-a-g+h

2b=gp+hより
2b=gp+h=-a-g+2h-k
∴a+2b=-g+2h-k …⑥

p=(c-2b)/(a-2b)、c-2b=(k-g)pより
a-2b=k-g …⑦

⑥、⑦から
a=-g+h
2b=-k+h
となるが、(1)から-g+hは偶数になりaが奇数であることに反し
(2)から-k+hは奇数になるが、2bが偶数であることに反する。

方程式⑤の解から矛盾がおきたので、⑤の方程式は正しくない。
以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/23(金) 01:59:12.43

>>139
>gx^2+(-a-g+h)x+c-h=0 …⑤
>gx^2-(gp+k)x+kp=0
>上式と⑤のxの1次式の項の係数を比較すると
>gp+k=-a-g+h
符号が逆

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/23(金) 18:31:08.41

>>140
符号の計算を間違えました。

>>139 訂正
p=(-(-a-g+h)±√((-a-g+h)^2-4g(c-h)))/(2g)
-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、

p=(-(-gp-k)±√((-gp-k)^2-4kgp))/(2g)
=(gp+k±√((gp-k)^2)/(2g)
=(gp+k±(gp-k)/(2g)
=p, k/g

2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。

ap-c=(p^(n+1)-1)c=(p-1)(p^n+…+1)=(p-1)(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
ap-c≡0 (mod p+1)
ap-c≡-a-c≡-a-(-k+h)≡0 (mod p+1)
a≡k-h (mod p+1)

2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b=c(p^n+p^(n-1)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b≡0 (mod p+1)

c=kp+h
≡-k+h (mod p+1)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/23(金) 18:32:02.04

>>141 つづき
p^n≡p^(n-1)(p+1)-p^(n-1)≡-p^(n-1) (mod p+1)
から
p^n≡(-1)^x*p^(n-x) (mod p+1)
p^n≡-1 (mod p+1)
a≡cp^n≡-c (mod p+1)

a+c≡0 (mod p+1)
a-c≡2k-2h≡0 (mod p+1)

整数s,tを用いて
a-c=(p-1)s
a+c=(p+1)t

2a=(p-1)s+(p+1)t
p=4q+1とすると

2a=4qs+(4q+2)t

a=2qs+(2q+1)t
aは奇数だから、tは奇数

2c=(p+1)t-(p-1)s
2c=(4q+2)t-4qs

c=(2q+1)t-2qs

ap-2bp+2b=c
2b(p-1)=ap-c=(2qs+(2q+1)t)p-(2q+1)t+2qs
=(2q+1)t(p-1)+2qs(p+1)

p+1=4q+2
p-1=4q
(p+1)/(p-1)=1+1/(2q)

2b=(2q+1)t+2qs(1+1/(2q))
=(2q+1)t+(2q+1)s
=(2q+1)(t+s)
tが奇数だからsは奇数となり、bが奇数だから(s+t)/2は奇数となる。

p=(a-c)/s+1=(a+c)/t-1
p=(a-c)t+st=(a+c)s-st

(a+c)s-(a-c)t=2st
a(s-t)+c(s+t)=2st
a(s-t)/2+c(s+t)/2=st

(s+t)/2が奇数のとき、(s-t)/2は奇数となるので左辺は偶数となるが
これはstが奇数になることと矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/23(金) 18:41:32.76

正しいと思われるレスは、
>>38,>>114,>>138,>>141,>>142
になります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/23(金) 18:51:16.07

>>142
＞(s+t)/2が奇数のとき、(s-t)/2は奇数となる
なにゆえ？
(s+t)/2-(s-t)/2=tは奇数だと上で言ってるやん

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/25(日) 12:21:18.53

>>139 訂正
p=(-(-a-g+h)±√((-a-g+h)^2-4g(c-h)))/(2g)
-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、

p=(-(-gp-k)±√((-gp-k)^2-4kgp))/(2g)
=(gp+k±√((gp-k)^2)/(2g)
=(gp+k±(gp-k)/(2g)
=p, k/g

2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。

a=cp^n≡k+h (mod p-1)
2b=gp+h≡g+h (mod p-1)
c≡k+h (mod p-1)
a-c≡0 (mod p-1)
a+c≡2k+2h (mod p-1)

整数をrとして
2r=g+h
2b=(p-1)s+2r
2b=(p+1)t

(s-t)p=s+t-2r
p=1+2(t-r)/(s-t)

2q=(t-r)/(s-t)
2(s-t)q=t-r
rが奇数なので、tは奇数となる。

(2q+1)t=2sq+r
t=(2sq+r)/(2q+1)
=s+(r-s)/(2q+1)

m=(r-s)/(2q+1)とすると
m(2q+1)=r-s
s=-m(2q+1)+r

t=-m(2q+1)+r+m
t=-2mq+r

2(s-t)q=-2mq
s-t=-2m
tが奇数なので、sは奇数となる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/25(日) 12:22:56.83

>>145 つづき
t=s+mだから
s-t=-m
-2m=-m
∴m=0

これにより、
r=s=t
が成立する。

2b=(p+1)r
2b=gp+hであるから、
g=h=r
が成立し、gとhは奇数となる。

a=gp+k
2b=gp+g
c=kp+g

a≡g+k≡n(h+k)+2k (mod p-1)
2b≡2g≡2n(h+k)+2k (mod p-1)
c≡k+g (mod p-1)
gが奇数であるから、kは偶数になる。

p=(c-2b)/(a-2b)、c-2b=(k-g)pより
a-2b=k-g
a-c=a-2b-(c-2b)=k-g-(k-g)p=(g-k)(p-1)

a>c、p-1>0より、g>k

g-k=(a-c)/(p-1)=(p^n-1)c/(p-1)
g-k=c(p^(n-1)+…+1)
g=c(p^(n-1)+…+1)+k

g≡(h+k)(p^(n-1)+…+1)+k (mod p-1)
p^(n-1)+…+1=(p^(n-1)-1)+1+(p^(n-2)-1)+1…+(p-1)+1+1)から
p^(n-1)+…+1≡n (mod p-1)となるので
g≡n(h+k)+k (mod p-1)

n=4m+1、h=gであるから
g≡(4m+1)g+(4m+2)k (mod p-1)
となる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/25(日) 12:23:23.40

>>146 つづき
a-c=(g-k)p+k-g=(p-1)(g-k)
a+c=(g+k)p+g+k=(p+1)(g+k)

(a-c)/(g-k)+1=(a+c)/(g+k)-1
(g+k)(a-c)+(g-k)(g+k)=(g-k)(a+c)-(g-k)(g+k)
(g-k)(a+c)-(g+k)(a-c)=2(g-k)(g+k)
(g-k-(g+k))a+(g-k+g+k)c=2(g-k)(g+k)
-2ka+2gc=2(g-k)(g+k)
-ka+gc=(g-k)(g+k)
ka-gc=-(g-k)(g+k)

(kp^n-g)c=-(g-k)(g+k)

g-k=c(p^(n-1)+…+1)より
u=p^(n-1)+…+1とすると
g-k=cu

(kp^n-g)c=-cu(g+k)
kp^n-g=-u(g+k)
(u-1)g=-kp^n-uk

u≡n (mod p-1)
g≡n(h+k)+k (mod p-1)
から
(u-1)g≡(n-1)(n(h+k)+k)≡n(n-1)(h+k)+(n-1)k (mod p-1)
-kp^n-uk≡-k-nk≡-(n+1)k (mod p-1)

n(n-1)(h+k)+(n-1)k+(n+1)k≡0 (mod p-1)
n(n-1)(h+k)+2nk≡0 (mod p-1)
n(n-1)h+n(n+1)k≡0 (mod p-1)

p=4q+1とすると、整数をvとして
n(n-1)h+n(n-1)k=4qv
n((n-1)/2)h+n((n-1)/2)k=2qv
hが奇数、kが偶数であるから、左辺は奇数となるが
右辺は偶数なので矛盾する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/25(日) 13:04:35.01

>>147
最近の証明もどきは長いわりに最後の文を見ただけで誤りがわかるから助かる
＞n((n-1)/2)h+n((n-1)/2)k=2qv
＞hが奇数、kが偶数であるから、左辺は奇数となる
n-1が4の倍数だから左辺は偶数ね

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/26(月) 12:48:00.31

>>148
このような計算間違いをすることは、普段は少ないのですが。

>>145 訂正
p=(-(-a-g+h)±√((-a-g+h)^2-4g(c-h)))/(2g)
-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、

p=(-(-gp-k)±√((-gp-k)^2-4kgp))/(2g)
=(gp+k±√((gp-k)^2)/(2g)
=(gp+k±(gp-k)/(2g)
=p, k/g

2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。

a=cp^n≡k+h (mod p-1)
2b=gp+h≡g+h (mod p-1)
c≡k+h (mod p-1)
a-c≡0 (mod p-1)
a+c≡2k+2h (mod p-1)

ap-c=(p^(n+1)-1)c=(p-1)(p^n+…+1)=(p-1)(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
ap-c≡0 (mod p+1)
ap-c≡-a-c≡-a-(-k+h)≡0 (mod p+1)
a≡k-h (mod p+1)

2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b=c(p^n+p^(n-1)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b≡0 (mod p+1)

c=kp+h
≡-k+h (mod p+1)

a-c≡2k-2h (mod p+1)
a+c≡0 (mod p+1)

奇数をr、整数をs,tとして
r=k-h
a-c=(p+1)s+2r
a+c=(p+1)t

a+c=(p^n+1)c=(p+1)(p^(n-1)-p^(n-2)+p^(n-3)-…+1)c
となり、p^(n-1)-p^(n-2)+p^(n-3)-…+1は2で割れないから
tは奇数となる。

2a=(p+1)(s+t)+2r
a=(p+1)(s+t)/2+r
rとtが奇数だから、s+tは偶数になるのでsは奇数となる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/26(月) 12:49:33.91

>>149 訂正
2a=(p+1)(s+t)+2r
(p+1)(s+t)=2(a-r)
p=2(a-r)/(s+t)-1

2c=(p+1)(t-s)-2r
c=(p+1)(t-s)/2-r

a=(p+1)(s+t)/2+r
=(s+t)p/2+(s+t+2r)/2

c=(p+1)(t-s)/2-r
=(t-s)p/2+(t-s-2r)/2

a=gp-g+h+k
c=kp+h
だから

g=(s+t)/2
-g+h+k=(s+t+2r)/2
k=(t-s)/2
h=(t-s-2r)/2

-g+h+k=-s-t+t-s-2r+t-s
=-3s+t-2r

s+t+2r=-3s+t-2r
4s+4r=0
∴s=-r

a-c=(p+1)(-r)+2r=-rp+r

g=(t-r)/2
-g+h+k=(r+t)/2
k=(r+t)/2
h=(t-r)/2
これにより、g=hが成立する。

a=gp+k
b=gp+g
c=kp+g

a-c=(g-k)p+k-g=(p-1)(g-k)
a+c=(g+k)p+g+k=(p+1)(g+k)

(a-c)/(g-k)+1=(a+c)/(g+k)-1
(g+k)(a-c)+(g-k)(g+k)=(g-k)(a+c)-(g-k)(g+k)
(g-k)(a+c)-(g+k)(a-c)=2(g-k)(g+k)
(g-k-(g+k))a+(g-k+g+k)c=2(g-k)(g+k)
-2ka+2gc=2(g-k)(g+k)
-ka+gc=(g-k)(g+k)
ka-gc=-(g-k)(g+k)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/26(月) 12:51:02.69

>>150 訂正
×>>149 訂正
〇>>149 つづき

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/26(月) 12:51:42.66

>>150 つづき
(kp^n-g)c=-(g-k)(g+k)

g-k=c(p^(n-1)+…+1)より
u=p^(n-1)+…+1とすると
g-k=cu

(kp^n-g)c=-cu(g+k)
kp^n-g=-u(g+k)
(u-1)g=-kp^n-uk

u≡n (mod p-1)
g≡n(h+k)+k (mod p-1)
から
(u-1)g≡(n-1)(n(h+k)+k)≡n(n-1)(h+k)+(n-1)k (mod p-1)
-kp^n-uk≡-k-nk≡-(n+1)k (mod p-1)

n(n-1)(h+k)+(n-1)k+(n+1)k≡0 (mod p-1)
n(n-1)(h+k)+2nk≡0 (mod p-1)
n(n-1)h+n(n+1)k≡0 (mod p-1)

整数をqとしてp=4q+1だから、整数をvとして
n(n-1)h+n(n+1)k=4qv

k=(r+t)/2
h=(t-r)/2
より

n(n-1)(t-r)+n(n+1)(r+t)=8qv
tn^2+rn=4qv
n(nt+r)/2=2qv

整数をw,zとして
t=2w+1
r=2z+1とすると
(nt+r)/2=((4m+1)(2w+1)+2z+1)/2
=(8mw+4m+2w+2z+2)/2
=4mw+2m+w+z+1
となるから、(nt+r)/2は奇数となる。

よって、n(nt+r)/2は奇数となるから矛盾がおきる。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/26(月) 12:59:58.13

>>152 追加
g≡n(h+k)+kは以下のように計算されます。

g-k=(a-c)/(p-1)=(p^n-1)c/(p-1)
g-k=c(p^(n-1)+…+1)
g=c(p^(n-1)+…+1)+k

g≡(h+k)(p^(n-1)+…+1)+k (mod p-1)
p^(n-1)+…+1=(p^(n-1)-1)+1+(p^(n-2)-1)+1…+(p-1)+1+1)から
p^(n-1)+…+1≡n (mod p-1)となるので
g≡n(h+k)+k (mod p-1)

正しいと思われるレスは、
>>38,>>114,>>138,>>149-152
になります、

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/26(月) 13:59:45.68

w+zは奇数だから(nt+r)/2は偶数

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/26(月) 14:33:00.48

>>150
これまで正しい証明が一度もないので普段は間違わないと言われても信じがたい
＞a=(p+1)(s+t)/2+r
＞=(s+t)p/2+(s+t+2r)/2
＞c=(p+1)(t-s)/2-r
＞=(t-s)p/2+(t-s-2r)/2
＞a=gp-g+h+k
＞c=kp+h
＞だから
＞g=(s+t)/2
＞-g+h+k=(s+t+2r)/2
＞k=(t-s)/2
＞h=(t-s-2r)/2
今日のおかしいところはここかな
a=gp-g+h+k=(s+t)p/2+(s+t+2r)/2 から
＞g=(s+t)/2
＞-g+h+k=(s+t+2r)/2
は言えないし
c=kp+h=(t-s)p/2+(t-s-2r)/2 から
＞k=(t-s)/2
＞h=(t-s-2r)/2
も言えない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/26(月) 15:53:20.42

>>155
それは、昔学生の時に数学の計算問題で
ほとんど間違えなかったということです。

指摘された部分は、aとcがpの一次式なので係数比較を
行ったものです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/26(月) 17:36:42.25

>>156
＞指摘された部分は、aとcがpの一次式なので係数比較を行ったもの
大方そんな考えかなと思ったので指摘した次第です
pは最初に仮定したyから一意に定まる値であり、独立変数ではありません
そのような場合、pの一次式を複数立ててそれらが等しいことを示しても一概に係数同士が等しいとはいえません

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/27(火) 06:27:43.64

>>157
pが一意に定まらないことを証明しました。

a=(p+1)(s+t)/2+r
=(s+t)p/2+(s+t+2r)/2

c=(p+1)(t-s)/2-r
=(t-s)p/2+(t-s-2r)/2

a=gp-g+h+k
c=kp+h
だから

(p+1)(t-s)/2-r=kp+h
(p+1)(t-s)=2kp+2h-2r
(p+1)(t-s)=2kp+4h-2k …⑤
(s-t+2k)p=-4h+2k-s+t …⑥
となるが、ここで
a-c=a+c-2c=(p+1)t-2(kp+h)
=(p+1)(t-2k)+2k-2h
r=k-hだから
s=t-2k
となり
(s-t+2k)p=-4h+4k
s-t+2k=0だから
-4h+4k=0
h=kとなるので、(2)に反するので矛盾がおきる。

(p+1)(s+t)/2+r=gp-g+h+k
(p+1)(s+t)=2gp-2g+2h+2k-2r
(p+1)(s+t)=2gp-2g+4h …⑦
(p+1)(s+t)=2g(p-1)+4h
(p+1)(s+t)/4=g(p-1)/2+h …⑧

a=(p+1)(s+t)/2+k-h
(a-k+h)/2=(p+1)(s+t)/4
a≡k-h (mod p-1)より、左辺は偶数で、(p+1)/2は奇数であるから
(s+t)/2は偶数となる。

これにより、⑧の左辺は偶数になり、hは偶数になる。
よって条件(1)、(2)により、gは偶数、kは奇数になる。

式⑦から式⑤を辺々引くと
2s(p+1)=2(g-k)p-2g+2k
s(p+1)=(g-k)p-g+k
s(p+1)=(g-k)(p-1)
s(p+1)/2=(g-k)(p-1)/2
となり、左辺は奇数に右辺は偶数になるので矛盾する。

以上から、pは一意の値にはならない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/27(火) 06:31:07.64

あほか

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/27(火) 06:50:44.91

>>152 訂正
(kp^n-g)c=-(g-k)(g+k)

g-k=c(p^(n-1)+…+1)より
u=p^(n-1)+…+1とすると
g-k=cu

(kp^n-g)c=-cu(g+k)
kp^n-g=-u(g+k)
(u-1)g=-kp^n-uk

u≡n (mod p-1)
g≡n(h+k)+k (mod p-1)
から
(u-1)g≡(n-1)(n(h+k)+k)≡n(n-1)(h+k)+(n-1)k (mod p-1)
-kp^n-uk≡-k-nk≡-(n+1)k (mod p-1)

n(n-1)(h+k)+(n-1)k+(n+1)k≡0 (mod p-1)
n(n-1)(h+k)+2nk≡0 (mod p-1)
n(n-1)h+n(n+1)k≡0 (mod p-1)

整数をqとしてp=4q+1だから、整数をvとして
n(n-1)h+n(n+1)k=4qv

k=(r+t)/2
h=(t-r)/2
より

n(n-1)(t-r)+n(n+1)(r+t)=8qv
tn^2+rn=4qv
tn^2+rn=4qv
n(nt+r)/2=2qv

整数をw,zとして
t=2w+1
r=2z+1とすると
(nt+r)/2=((4m+1)(2w+1)+2z+1)/2
=(8mw+4m+2w+2z+2)/2
=4mw+2m+w+z+1

w+z=(t+r)/2-1
=k-1
だから
(nt+r)/2=4mw+2m+k
となり、kは奇数であるから(nt+r)/2は奇数となる。
よって、n(nt+r)/2は奇数となるから矛盾がおきる。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/27(火) 08:22:37.18

自分でkは偶数と書いてんのに何で違うことになってんだ
あと計算間違い多すぎ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/27(火) 09:57:13.29

>>161
>>158

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/27(火) 10:06:50.82

(p+1)(t-s)/2-r=kp+h
(p+1)(t-s)=2kp+2h-2r
この２行だけ見ても違う
もうお話にならない

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/27(火) 14:17:31.15

証明が完成したら10回読み直して10回計算し直す
大抵5回目で間違いに気が付く
確信は最大の敵だから、気をつけて

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/27(火) 19:58:54.02

>>158 訂正
a=(p+1)(s+t)/2+r
=(s+t)p/2+(s+t+2r)/2

c=(p+1)(t-s)/2-r
=(t-s)p/2+(t-s-2r)/2

a=gp-g+h+k
c=kp+h
だから

(p+1)(t-s)/2-r=kp+h
(p+1)(t-s)=2kp+2h+2r
(p+1)(t-s)=2kp+2k …⑤
(s-t+2k)p=-2k-s+t
となるが、ここで
a-c=a+c-2c=(p+1)t-2(kp+h)
=(p+1)(t-2k)+2k-2h
r=k-hだから
s=t-2k
となり
(s-t+2k)p=0
よって、pは不定になる。

(p+1)(s+t)/2+r=gp-g+h+k
(p+1)(s+t)/2+k-h=gp-g+h+k
(p+1)(s+t)/2=gp-g+2h
(p+1)(s+t)=2gp-2g+4h …⑥
(p+1)(s+t)=2g(p-1)+4h
(p+1)(s+t)/4=g(p-1)/2+h …⑦

a=(p+1)(s+t)/2+k-h
(a-k+h)/2=(p+1)(s+t)/4
a≡k-h (mod p-1)より、左辺は偶数で、(p+1)/2は奇数であるから
(s+t)/2は偶数となる。

これにより、⑦の左辺は偶数になり、hは偶数になる。
よって、条件(1)、(2)によりgは偶数、kは奇数になる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/27(火) 20:00:49.91

>>165 つづき
式⑥から式⑤を辺々引くと
2(p+1)s=2(g-k)p-2g+4h-2k
(p+1)s=(g-k)p-g+2h-k
(s-g+k)p=-g+2h-k-s
(s-g+k)(p-1)=2h-2k-2s
(s-g+k)(p-1)/2=h-k-s
(s-g+k)(p-1)/2=-r-s

ここで
c=(p+1)(t-s)/2-r
r=-c+(p+1)(t-s)/2
=-c+(p+1)t/2-(p+1)s/2
r+s=-c+(p+1)t/2-(p-1)s/2
となるので
(s-g+k)(p-1)/2=-(-c+(p+1)t/2-(p-1)s/2)
(s-g+k)(p-1)/2=c-(p+1)t/2+(p-1)s/2
(-g+k)(p-1)/2=c-(p+1)t/2
c=(p+1)t/2+(-g+k)(p-1)/2
2c=(p+1)t+(-g+k)(p-1)

2c≡(-g+k)(p-1)≡g-k (mod p+1) …⑧

⑥から
(p+1)(s+t)=2g(p+1)-4g+4h
(p+1)(s+t)/4=g(p+1)/2-g+h
-g+h≡0 (mod p+1)
∴g≡h (mod p+1)

⑧より
2c≡h-k (mod p+1)

c=kp+hだから
c≡-k+h (mod p+1)
となるから
2c≡2(-k+h)≡h-k (mod p+1)
-2k+2h≡h-k (mod p+1)
∴h≡k (mod p+1)
これは、条件(2)に反する。

以上から、素数pは一意の値を持つことがない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/27(火) 22:50:56.53

2(-k+h)≡h-k
これ見て2を付け損ねたんじゃないかと思って見直すとかしないのか

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/27(火) 23:38:44.68

2c≡(-g+k)(p-1)≡g-k (mod p+1) …⑧
2を付け忘れた場所ってここかねえ
見直してないんだろうね

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/27(火) 23:48:14.17

手の込んだ間違い探しだな

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 10:54:12.07

>>168
結構見直しはしているつもりです。

>>149 訂正
p=(-(-a-g+h)±√((-a-g+h)^2-4g(c-h)))/(2g)
-a-g+h=-gp-k、c-h=kpだから、

p=(-(-gp-k)±√((-gp-k)^2-4kgp))/(2g)
=(gp+k±√((gp-k)^2)/(2g)
=(gp+k±(gp-k)/(2g)
=p, k/g

2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。

p=(c-2b)/(a-2b)、c-2b=(k-g)pより
a-2b=k-g
a-c=a-2b-(c-2b)=k-g-(k-g)p=(g-k)(p-1)

a>c、p-1>0より、g>k

g-k=(a-c)/(p-1)=(p^n-1)c/(p-1)
g-k=c(p^(n-1)+…+1)
g=c(p^(n-1)+…+1)+k

g≡(h+k)(p^(n-1)+…+1)+k (mod p-1)
p^(n-1)+…+1=(p^(n-1)-1)+1+(p^(n-2)-1)+1…+(p-1)+1+1)から
p^(n-1)+…+1≡n (mod p-1)となるので
g≡n(h+k)+k (mod p-1)

a=cp^n≡k+h (mod p-1)
2b=gp+h≡g+h (mod p-1)
c≡k+h (mod p-1)
a-c≡0 (mod p-1)
a+c≡2k+2h (mod p-1)

ap-c=(p^(n+1)-1)c=(p-1)(p^n+…+1)=(p-1)(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
ap-c≡0 (mod p+1)
ap-c≡-a-c≡-a-(-k+h)≡0 (mod p+1)
a≡k-h (mod p+1)

2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b=c(p^n+p^(n-1)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b≡0 (mod p+1)

c=kp+h
≡-k+h (mod p+1)

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 10:57:02.36

>>170 つづき
a-c≡2k-2h (mod p+1)
a+c≡0 (mod p+1)

奇数をr、整数をs,tとして
r=k-h
a-c=(p+1)s+2r
a+c=(p+1)t

a+c=(p^n+1)c=(p+1)(p^(n-1)-p^(n-2)+p^(n-3)-…+1)c
となり、p^(n-1)-p^(n-2)+p^(n-3)-…+1は2で割れないから
tは奇数となる。

2a=(p+1)(s+t)+2r
a=(p+1)(s+t)/2+r …⑤
rとtが奇数だから、s+tは偶数になるのでsは奇数となる。

2c=(p+1)(t-s)-2r
c=(p+1)(t-s)/2-r …⑥

c=kp+hから
(p+1)(t-s)/2-r=kp+h
(p+1)(t-s)=2kp+2h+2r
(p+1)(t-s)=2kp+2k …⑦
(s-t+2k)p=-2k-s+t
となるが、ここで
a-c=a+c-2c=(p+1)t-2(kp+h)
=(p+1)(t-2k)+2k-2h
r=k-hだから
s=t-2k
となり
(s-t+2k)p=0
よって、pは不定になる。

a=gp-g+h+kから
(p+1)(s+t)/2+r=gp-g+h+k
(p+1)(s+t)/2+k-h=gp-g+h+k
(p+1)(s+t)/2=gp-g+2h
(p+1)(s+t)=2gp-2g+4h …⑧
(p+1)(s+t)=2g(p-1)+4h
(p+1)(s+t)/4=g(p-1)/2+h …⑨

a=(p+1)(s+t)/2+k-h
(a-k+h)/2=(p+1)(s+t)/4
a≡k-h (mod p-1)より、左辺は偶数で、(p+1)/2は奇数であるから
(s+t)/2は偶数となる。

これにより、⑨の左辺は偶数になり、hは偶数になる。
よって、条件(1)、(2)によりgは偶数、kは奇数になる。

式⑧から式⑦を辺々引くと
2(p+1)s=2(g-k)p-2g+4h-2k
(p+1)s=(g-k)p-g+2h-k
(s-g+k)(p+1)=-2g+2h
(s-g+k)(p+1)/2=-g+h
(s-g+k)(p+1)/2≡-g+h≡0 (mod p+1)
∴g≡h (mod p+1)

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 10:59:57.76

>>171 つづき
整数をwとして
g=(p+1)w+h
と表され
a=gp-g+h+k=((p+1)w+h)p-((p+1)w+h)+h+k
となるが、⑤よりaはpの一次式で表さなければならないから
w=0
g=h
でなければらない。

a=gp+k
b=gp+g
c=kp+g

a-c=(g-k)p+k-g=(p-1)(g-k)
a+c=(g+k)p+g+k=(p+1)(g+k)

(a-c)/(g-k)+1=(a+c)/(g+k)-1
(g+k)(a-c)+(g-k)(g+k)=(g-k)(a+c)-(g-k)(g+k)
(g-k)(a+c)-(g+k)(a-c)=2(g-k)(g+k)
(g-k-(g+k))a+(g-k+g+k)c=2(g-k)(g+k)
-2ka+2gc=2(g-k)(g+k)
-ka+gc=(g-k)(g+k)
ka-gc=-(g-k)(g+k)

(kp^n-g)c=-(g-k)(g+k)

g-k=c(p^(n-1)+…+1)より
u=p^(n-1)+…+1とすると
g-k=cu

(kp^n-g)c=-cu(g+k)
kp^n-g=-u(g+k)
(u-1)g=-kp^n-uk

u≡n (mod p-1)
g≡n(h+k)+k (mod p-1)
から
(u-1)g≡(n-1)(n(h+k)+k)≡n(n-1)(h+k)+(n-1)k (mod p-1)
-kp^n-uk≡-k-nk≡-(n+1)k (mod p-1)

n(n-1)(h+k)+(n-1)k+(n+1)k≡0 (mod p-1)
n(n-1)(h+k)+2nk≡0 (mod p-1)
n(n-1)h+n(n+1)k≡0 (mod p-1)

整数をqとしてp=4q+1だから、整数をvとして
n(n-1)h+n(n+1)k=4qv

k=(r+t)/2
h=(t-r)/2
より

n(n-1)(t-r)+n(n+1)(r+t)=8qv
tn^2+rn=4qv
tn^2+rn=4qv
n(nt+r)/2=2qv

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 11:00:36.04

>>172 つづき
整数をw,zとして
t=2w+1
r=2z+1とすると
(nt+r)/2=((4m+1)(2w+1)+2z+1)/2
=(8mw+4m+2w+2z+2)/2
=4mw+2m+w+z+1

w+z=(t+r)/2-1
=k-1
だから
(nt+r)/2=4mw+2m+k
となり、kは奇数であるから(nt+r)/2は奇数となる。
よって、n(nt+r)/2は奇数となるから矛盾がおきる。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 11:04:45.31

全てのレスは、>>38,>>114,>>138,>>170-173
になります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 11:56:20.69

>>171-173
は間違えました。

>>171 訂正
g-k=c(p^(n-1)+…+1)
g=c(p+1)(p^(n-2)+p^n(n-4)+…+1)+k
g≡k (mod p+1)
gとkの偶奇が一致するので、条件(1)、(2)に反する。

以上から、奇数の完全数は存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 11:57:55.27

>>174
以前に指摘されている通り「pは不定」という主張が誤りであるため、この証明は成立しません

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 15:12:09.25

>>176
pが不定だということは誤りではありません。
g=hが成り立つという限定的な条件のもとでは、>>172-173のように証明されます。
後からg=hかどうかに関わらず矛盾がおきることが判明しました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 16:38:07.64

>>177
あなたの推論には以下と同様の主張が含まれており、これを元にした結論は正しいとはいえません

p＝5 と仮定すると 3p＋7＝4p＋2…⑤
0×p＝0 より pは不定
よって⑤より 3＝4かつ7＝2である

どこがおかしいか理解できますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 16:40:28.86

>>157
a=f1(p)p+g1(p)
a=f2(p)o+g2(p)
が成立していて、上式がすべてのpに対して恒等的に一致するとすると
f1(p)=f2(p)
g1(p)=g2(p)
が成立すると考えられます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 16:42:32.87

>>178
⑤のpの係数と右辺は両方とも0になっています。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 16:54:39.74

>>179
＞すべてのpに対して恒等的に一致するとすると
この仮定が根本的に誤りです

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 17:10:51.40

>>179
f1(p)＝2p, g1(p)＝p^2, f2(p)＝p, g_2(p)＝2p^2 とすると

f1(p)p＋g1(p)＝f2(p)p＋g2(p)

が全ての p に対して恒等的に一致するが、

f1(p)＝f2(p)
g1(p)＝g2(p)

は成り立たない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 17:15:09.93

a=p
b=1
c=p+1
d=1-p
のとき
ap+b=cp+dだけどa=c,b=dは成り立たない

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 18:01:54.33

>>182,183
なるほど、pについて解いた式が等しいとしか言えないですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 10:03:58.38

>>184 つづき
a=(p+1)(s+t)/2+r
2a-2r=(p+1)(s+t)
p=2(a-r)/(s+t)-1

a=gp-g+h+k
gp=a+g-h-k
p=(a-h-k)/g+1

2(a-r)/(s+t)-1=(a-h-k)/g+1
2(a-r)/(s+t)=(a-h-k)/g+2
2g(a-r)-(s+t)(a-h-k)-2g(s+t)=0

2g(h+k-r)-2g(s+t)≡0 (mod p-1)
2g(h+k-r-s-t)≡0 (mod p-1)
2g(2h-s-t)≡0 (mod p-1)

整数をuとして
2g(2h-s-t)=u(p-1)
2g(s+t-2h)=-u(p-1)
2g(s+t)=-u(p-1)+4gh

a=(p+1)(s+t)/2+r
(p+1)(s+t)=2(a-r)

4g(a-r)=(p+1)(-u(p-1)+4gh)
4g(a-r)≡4gh(p+1)≡4gh (mod p-1)
4g(a-k+h)≡4gh (mod p-1)
4g(a-k)≡0 (mod p-1)

g≡n(h+k)+k (mod p-1)だから
a≡k (mod p-1)

a≡h+k (mod p-1)より
h≡0 (mod p-1)

c=kp+h
c≡k+h≡k (mod p-1)
となるから
c=k(p-1)+k=kp
以上からh=0となるが、これはh>0に反するから矛盾する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 12:37:29.94

>>185
今日のやらかしはココ
＞4gh(p+1)≡4gh (mod p-1)
百ぺん見直そう

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 15:17:44.63

>>186
その部分を以下に訂正します。
4g(a-r)≡4gh(p+1)≡8gh (mod p-1)
4g(a-k+h)≡8gh (mod p-1)

h≡0 (mod p-1)より
4g(a-k)≡0 (mod p-1)

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 15:53:27.21

>>187
間違えた箇所から導いた結果をそのまま使ってはいけない
h≡0 (mod p-1)はいったいどこから出てくるのか

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 16:24:07.51

>>188
4g(a-r)≡4gh(p+1)≡8gh (mod p-1)
4g(a-k+h)≡8gh (mod p-1)
4g(a-k-h)≡0 (mod p-1)
となるだけでした。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 18:47:50.12

>>185 訂正
(s+t)p=2a-2r-s-t
a=gp-g+h+k

(s+t)p=2(gp-g+h+k)-2r-s-t
(s+t-2g)p=2(-g+h+k-r)-s-t
(s+t-2g)p=2(2h-g)-s-t

整数をvとして
2h-s-t=v(p-1)
s+t=-v(p-1)+2h

(-v(p-1)+2h-2g)p=2(-g+2h+k-r)-(-v(p-1)+2h)
(-vp+2h-2g+v)p=2(-g+k-r)+v(p-1)
(-vp+2h-2g)p=2(h-g)-v
-vp^2+2(h-g)p-2(h-g)+v=0
vp^2-2(h-g)p+2(h-g)-v=0

整数をwとして
h-g≡0 (mod p+1)
より
h-g=w(p+1)

vp^2-2w(p+1)p+2w(p+1)-v=0
(v-2w)p^2+2w-v=0
(v-2w)(p^2-1)=0
p^2≠1だから、v=2w

h-g≡2w (mod p-1)

整数をzとして
h-g=(p-1)z+2w
w(p+1)=(p-1)z+2w
(w-z)p=-z+w
p=1となり、不適となる。

以上から、w=0、g=hとなるので>>172以降の考察により
奇数の完全数は存在しない

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 18:54:29.15

>>190
最後の2行は取り消します。計算した結果がどこかにいきました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 19:27:17.59

>>191
このレスは間違いでした。

>>190 最後の2行の前に以下を追加
h-g=2w
2w=w(p+1)
w(p-1)=0
∴w=0

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 20:51:18.28

>>190
下から10行を取り消します。

>>192
これも間違いでした。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 22:09:58.56

私を某番組で馬鹿にするゴミコメンテーターがいたが

私が最古の数学的問題を完全に解決しようが、大学教授になりたい
などと、一言も言っていない。

ふざけんのもいい加減にしろ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 22:14:04.49

>>194
×数学的問題
〇最古の数学上の未解決問題

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/03(土) 17:25:02.26

数学力の低い人のために言っておきますが
>>175で証明は完了していますけれども、
>>155が否定している条件のもと、あるいはw=0で
g=hが成立する場合には、>>171-173の証明が成り立つと
いうことです。これはw=0という限定的な条件でこの
証明が成立しているということです。
>>176で言われているようなこともありますので、
>>175の条件を使わなくても証明ができるか検証を
行いました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/03(土) 17:31:24.01

g=c(p+1)(p^(n-2)+p^n(n-4)+…+1)+k
から
h-g=-c(p^(n-1)+…+1)+h-k
h-g=-c(p+1)(p^(n-2)+p^(n-4)+…+1)+h-k

h-g≡h-k (mod p+1)
h-g≡0であるとすると
h≡k (mod p+1)
となるが、これは条件(2)に反する。

よって、w=0の場合は不適となる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/03(土) 18:49:24.22

やっぱり理解していなかったか
もうどうしようもないね
お手上げ

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/03(土) 19:01:29.07

＞w=0という限定的な条件でこの証明が成立しているということです。
つまり、w=0でない場合の証明を示さないと意味がないですね

で、以下の導出は誤り
｜h-g=-c(p^(n-1)+…+1)+h-k
｜h-g=-c(p+1)(p^(n-2)+p^(n-4)+…+1)+h-k
nは奇数であることに気をつけよう

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/03(土) 20:20:39.78

2b=gp+hで0<h<pなんだからb>p^2/2のときはg=hにはなりようがない
いくらなんでも条件を限定しすぎでほとんど何の証明にもなってない