高校数学の質問スレPart408

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/13(火) 22:56:42.03

【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね

数学@5ch掲示板用掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
　（トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
　でないと放置されることがあります。
　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
　それがない場合、放置されることがあります。
　（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。

※前スレ
高校数学の質問スレPart407
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1597160116/

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 01:59:53.32

111は37×3で表せる合成数ですが、わざわざ素数37の倍数判定するより、3桁区切りの和を出した方が手っ取り早く判定できる。そういった合成数の代表的なものは他にありますか?2、5、10の累乗や33や99などのゾロ目数以外で。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 03:10:48.74

>>945
興味が沸いたので
n=1,2,3,....,10として
# 黒 3x^2 - 4xy + 3y^2 = n
# 赤 (5/2)*x^2 + (1/2)*y^2 = n

のグラフを書いてみた。

https://i.imgur.com/2OS5ogX.png

# R言語のソース(おまけ)
f0 <- function(x,y) (5/2)*(x - y)^2 + (1/2)*(x + y)^2
f1 <- function(x,y) (5/2)*x^2 + (1/2)*y^2
x=y=seq(-5,5,by=0.01)
z0=outer(x,y,f0)
z1=outer(x,y,f1)
contour(x,y,z0,levels=1:10,asp=1,bty='n')
contour(x,y,z1,col=2,levels=1:10,add=T)
abline(a=0,b=1,lty=3,col=8)
abline(a=0,b=-1,lty=3,col=8)

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 03:15:42.82

ついでに、

# 黒 3x^2 - 4xy + 3y^2 = 10
# 赤 (5/2)*x^2 + (1/2)*y^2 = 10
# 青 (5/2)*y^2 + (1/2)*x^2 = 10

も書いてみた。

https://i.imgur.com/SPZQ4i5.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 03:48:10.03

>>950
作図だけしてみた。何の軌跡かは知らん。

https://i.imgur.com/oAgiSdL.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 05:43:42.03

>>952
「手っ取り早く判定できる」というのが曖昧で難しい
もしこれを計算機科学的な意味でいってるとすれば一筋縄ではないかない問題だろう
そもそも桁区切りで倍数の判定をすることは必ずしも計算量を小さくするのだろうか

しかしながら単に「桁くぎりで倍数判定できる」という意味なら
10と互いに素な任意の自然数は必ずそのような判定を持つ :
Mを10と互いに素な整数M＞1としよう
ある正の整数nが存在して 10^n≡1 (mod M)となる
このとき Mの倍数判定法はn桁区切りで可能である

以下は具体例である要望どおり合成数であり,ゾロ目でないものだけ

4桁区切り → 303, 909
5桁区切り → 123, 369, 813, 2439
6桁区切り → 21, 39, 63, 91, ... (たくさんあるので略)
7桁区切り → 717, 2151, 13947, 41841
...

一般には 10^n-1(n＞1)の形の数を素因数分解することで
条件を満たすn桁区切りで判定できる新しい数を必ず選ぶことができる
(もし合成数とかゾロ目とかいうこだわりがないなら約数全部取ってくれば十分)

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 05:54:02.82

>>956
ちょっと修正ゾロ目でないという条件は
運がわるい場合はあるnでは満たされない
具体的には 10^n-1が素数の9倍になるケース
このケースが発生した場合はゾロ目条件をクリアする約数は取れない
たとえば「19桁区切りだけで判定できるゾロ目でない合成数は存在しない」

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 09:25:15.27

>>955
修正
0<t<pi/4だから45°までだった。

https://i.imgur.com/LfjhEmn.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 11:15:05.58

>>956
10と互いに素な自然数ならこの方法で倍数判定できる、これは初めて知りました。
つまり、1の位が5でないすべての奇数にあてはめられると考えて問題ないと。
7,11,13が3桁区切り、11,33,99が2桁区切りで判定できるのもそういうことですね。
もっと言えば3と9も。
4桁区切りの303,909は101にもあてはまることは薄々わかります。合成数という条件なので挙がらなかったのは理解していますが。
5桁区切りの41,271も然り。
あとは法則性が自分には理解不能です。

しかるに、n桁区切りの和で判定できる素数があるとすれば、その3倍、9倍まで同じ方法で判定できるという仮説が立ちましたが、正しいですか?

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 11:36:33.55

すみません、ふと考えついて計算してみると、37も3桁区切りの和で判定できました。
任意の素数と、その3の累乗の積すべてに成り立つようです。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 12:03:29.62

>>957
11,33,99のことですか

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 13:05:36.12

>>900 の答えがa^2/2になるのが求められない。
ほんとに簡単なの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 15:39:47.46

会話の途中にすみません
cosxtanxをsinxとしても良いのですか？cosx=0の時にダメな気がしますが...

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 16:54:11.43

>>963
tanxをとりあげている時点でcosx=0は除いて考えてるんでないか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 18:56:16.05

>>963
へ？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 22:11:30.27

>>962
作図してみた。
https://i.imgur.com/PXqzzZU.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/21(月) 16:23:21.30

四分位数の説明でこんな動画があります
https://youtu.be/KXtBVAaC03E
冒頭説明で円を区切った時2 : 2.5 : 2.5 : 2になってますが
実際は2.25 : 2.25 : 2.25 : 2.25ですよね？
それとも考え方的に本当に2 : 2.5 : 2.5 : 2になるんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/21(月) 17:04:06.49

>>967
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨のど真ん中が⑤、
このとき、下半分は①②③④と考え、その中央値は②と③の平均というように考えるようだ
https://bellcurve.jp/statistics/course/19277.htmlの四分位数の求め方（データの個数が奇数個の場合）の2．を読んでみて
ただし、四分位数にはいくつかの流儀があるらしく、常にこの考え方をするとは限らないらしい

そのビデオは肝心の所を説明していない

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/21(月) 17:10:32.60

>>967
https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a13m0403.html
進研ゼミのサイトでは先に示したサイトと同じ考え方をしている
https://mathtrain.jp/shibuni
このサイトでは別の考え方をしている

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/21(月) 17:13:21.41

https://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/stat/quartile.html
このサイトによれば教科書にも「四分位数の定義は他にもいくつかある」と書かれているんだそうだ
受験では扱われないんじゃないかな

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/21(月) 17:59:22.08

>>968-970
基本的にはyoutubeので合ってるっていう感じなのですね
教えていただいたサイトも大変参考になりました
どうもありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/21(月) 18:38:08.29

>>970
Rのquantileのhelpファイルには９通りの求め方が解説されている。
結局、こんな漢字で分布図を書くのが一番なのだろうと思う。

https://i.imgur.com/fwzy5Da.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/21(月) 19:27:01.48

>>962
(問題再掲)
>角Aが40度で、角Bが直角である三角形ABCにおいて、
>辺BC上に、角BAD＝25度になるように点Dをとると、BD＝1となった。
>AD＝aとおくとき、ACの長さをaで表したものとして正しいのはどれか。(選択肢略)

辺BCをB側に延長し、延長上に点Eを∠BAE＝25°になるようにとる。
△ACEと△EADはともに頂角50°の二等辺三角形、ゆえに相似。
よって AC：AE＝EA：ED. よってAC：a＝a：2 。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/21(月) 20:23:09.44

>>973
ACの長さは数値として出てくる。

https://i.imgur.com/PXqzzZU.png
> u=pi/180
> (a=1/sin(25*u))
[1] 2.366201583152499
> (AB=1/tan(25*u))
[1] 2.144506920509559
> (AC=AB/sin(50*u))
[1] 2.799454966056695

ちなみに
> a^2/2
[1] 2.799454966056695
>

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/21(月) 20:28:21.91

数学の概念なんて場合によって色々変わるのなんて日常茶飯事だけど受験数学は別
ルールブックである限定教科書の定義が絶対

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/21(月) 22:58:52.73

>>975
高校の教科書だと自然数は0じゃなく1からって言う謎ルールあるよね
0からでも1からでも良いよってことにして違いが重要なときには正の整数とか非負整数とか言えばいいのになぁと思う

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/22(火) 01:29:51.62

普通はそうじゃん

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/22(火) 01:39:15.97

前>>877
>>900
△ABCにおいて正弦定理より、
AC/sin90°=AB/sin50°
AC=AB/sin(25°+25°)
=√(a^2-1)/(sin25°cos25°+cos25°sin25°)
=√(a^2-1)/[(1/a)｛√(a^2-1)/a｝+｛√(a^2-1)/a｝(1/a)]
=a^2/2
ごめん、同じになる。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/22(火) 01:59:27.50

前>>978
a=1/cos65°
=2.36620158315……

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/22(火) 11:39:04.12

教科書に定義はいろいろあると書かれているなら受験で出す場合は問題文で定義を示すことになるだろな

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/22(火) 12:41:01.45

もちろん高校数学の検定教科書の4分位数の定義は全部統一されてるし、受験問題で定義が載せられることもない

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/22(火) 12:54:19.75

箱ひげ図がローソク足に見える
なんで江戸時代にできたローソク足の定義を1970年代に上書きされなきゃならんのだろう

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/22(火) 14:09:06.27

黒い箱ひげ図ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/22(火) 14:40:43.12

>>900
三倍角の公式を持ちいて sin25 が満たす3次法廷式を考えると
答えを ((√2+√6)a^3+16)/24 と表すこともできるな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/22(火) 16:25:22.87

>>900
t = AC とおく
tは代数的数であるからいくらでも表現を得ることができる
今回は t^6-72t^5+420t^4-896t^3+864t^2-384t+64 = 0
これを用いればいくらでも有理数係数多項式の形の表現を得ることができる

f(x) = (x^6-72x^5+420x^4-896x^3+864x^2+64)/384 とおくと
t = f(t)　が成立するので
nを任意の非負整数として fのn回合成f^nを考えて
t = f^n(t) が成立するから t = a^2/2 より t = f^n(a^2/2) を得る

ただ,このような例は代数的に意味のある表現とはいえない
>>984 の挙げているような例のほうが面白い

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/22(火) 20:40:13.33

2変数関数の最小値（a>0、b>0）
a（x+cy+d）^2+b（y+e）^2+k

これでabcdekを定数としてカッコ内が0のときkが最小値なのはわかるんですが
なぜaとbが0より大きくなければいけないんですか？
カッコ内が0なら正負関係なく最小値はkだと思うんですが

黃チャートの例題の解説文からです

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/22(火) 20:41:14.75

>>986
x、yは実数です

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/22(火) 21:01:41.00

>>986
a,bがともに負なら最小値じゃなくて最大値になるからじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/22(火) 21:13:15.42

>>988
あっ！そうですね
つまらないことで悩んでました
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/22(火) 21:13:48.74

>>978
これも同じ

θ=25°として
AD=a=1/sin(θ)
AB=cos(θ)/sin(θ)
AC=cos(θ)/(sin(θ)*sin(2*θ))
倍角公式から
=cos(θ)/(sin(θ)*2*sin(θ)*cos(θ))
=(1/2)*(1/sin(θ)^2)
= (1/2)*a^2

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 02:53:27.38

>>984

3sin(25) - 4sin(25)^3 = sin(3x25) = sin(30+45)
　= sin(30)cos(45) + cos(30)sin(45) = (√2 + √6)/4,

3/a - 4/a^3 = (√2 + √6)/4,

12a^2 = {(√2 + √6)a^3 + 16},

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 03:20:06.92

3 - 4/a^2 = (√2 + √6)/4・a,
より
a = (√6 - √2)(3 - 4/a^2),

答えを (1/2)(√6 - √2)(3a - 4/a) と表わすこともできるな。

それはそうと、次スレ････

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 08:15:13.79

>>978
イナさんは進振りの得点はいくらでした？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 09:21:43.86

高校数学の質問スレPart409
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608682829/

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/25(金) 04:54:46.36

t=AC とおくと
　{1 + (√3)/2}t^3 - (3t - 2)^2 = 0,

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 20:47:00.00

超数弱の高１です。なぜ確率を求める際には「同様に確からしい」ことが前提にならなきゃいけないのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 20:58:06.91

別に同様にでなくてもいいよ
1だけ他の目よりも2倍でやすいサイコロとか設定してもいい

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 22:10:50.89

六面サイコロで七が出る可能性は無いし

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 22:54:49.82

７の目のある六面サイコロを設定しても構わんよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 23:00:25.63

1000の目のある妖怪を設定しても良い

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