0001132人目の素数さん2012/03/14(水) 20:04:46.44
もしπが有理数だったら、文科省泣いちゃうよ?
0192132人目の素数さん2020/05/08(金) 09:59:19.07ID:CiWhnomZ
円を4等分して分離して平行四辺形の形みたいに合体させる。これを永久に繰り返して小さくしていっても弧の部分が永久にできるから絶対に無理数だろ
0193132人目の素数さん2020/05/08(金) 10:02:12.84ID:CiWhnomZ
0194132人目の素数さん2020/05/08(金) 10:27:58.52ID:WmDpVhCu
>>104
m→∞ のとき a_n (n>m)の存在する区間の幅が0に近づくような数列 {a_n} を考える。
(基本列 とか コーシー列 とか云うらしい。)
カントールはその極限をもって実数の定義とした。
(例)a_n により小数点下n桁まで決定する場合。 >>103
√(π/1.2) = 1.6180216 を利用して「Pibonacci数」を定義する。
P_1 = P_2 = 1,
P_{n+1} = {√(π/1.2) - √(1.2/π)}P_n + P_{n-1}
= 0.9999828706P_n + P_{n-1},
これに対する「ビネの公式」は
P_n = {(π/1.2)^(n/2) - (-1)^n・(1.2/π)^(n/2)}/{√(π/1.2) + √(1.2/π)}
= {(π/1.2)^(n/2) - (-1)^n・(1.2/π)^(n/2)}/2.236060317
・富士山麓オウムは災難 訂正
「ビネの公式」は
P_n = {(1 + 1/φ')・φ'^(n-1) - (-1)^n・(φ' - 1)・φ'^(1-n)}/(φ' + 1/φ')
= {(φ' +1)・φ'^(n-2) - (-1)^n・(1 - 1/φ')・φ'^(2-n)}/(φ' + 1/φ')
φ' = √(π/1.2) = 1.618021594
ですた。
・富士山麓オウムはサイナラ
>>104
[定理12] 実数αに収束する有理数列が存在する。
高木:「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
附録I.無理数論、§6.極限、定理12、p.462-463 π - e = 69/163
π =512.08/163 = 12802/(163・25),
e = 443.08/163 = 11077/(163・25) から。
0200132人目の素数さん2020/08/27(木) 10:49:44.49ID:BaPql3dT
0201132人目の素数さん2020/09/01(火) 19:26:43.14ID:2qjbTlF5
0202132人目の素数さん2020/09/09(水) 23:27:23.89ID:IR7822fG
(π/2 - 1)^8 + (4/3)^8 = 10
より
π = 2(1 + [10 - (4/3)^8]^{1/8}),
たしかに無理数。(8次の代数的数?)
π = 3 + 0.1√2 = √(9 +0.6√2 +0.02),
とおく。
次に「ペル方程式」の解を使って、√2 を分数で近似する。
7^2 - 2・5^2 = -1 より
√2 ≒ 7/5,
p = 3 + 0.1√2 ≒ 3 + 7/50 = 3.14
10^2 - 2・7^2 = 2 より
√2 ≒ 10/7,
q = 3 + 0.1√2 ≒ 3 + 1/7 = 3.142857
{p,p,p,p, q,q,q,q,q} の相加平均、調和平均より
π' = (4p+5q)/9 = 3 + 223/1575 = 3.1415873
π" = 9/(4/p + 5/q) = 3 + 1401/9895 = 3.14158666
17^2 - 2・12^2 = 1 より
√2 ≒ 17/12,
π = 3 + 0.1√2 ≒ 3 + 17/120 = 3.1416667
π = √(9 +0.6√2 +0.02)
≒ √(9 +0.85 +0.02) = √(9.87) = 3.1416556
π^2 + (1/π)^2 = (π - 1/π)^2 + 2 ≒ 10,
π - 1/π ≒ 2√2,
これを改良して
π - 1/π + 1/(2π^4) = 2√2,
∴ π = 3.141603
π^2 + (1/π)^2 = (π + 1/π)^2 - 2 ≒ 10,
π + 1/π ≒ 2√3,
これを改良して
π + 1/π + 1/((√6)π^4) = 2√3,
∴ π = 3.1416016
また
π = √3 + √2 - (√3 + √2)/(4(√3)π^3),
1/π = √3 - √2 + (√3 - √2)/(4(√3)π^5),
√3 = 1 + (1/2) 1.1^4 = 1.73205
√2 = 1 + 0.8^4
π = √3 + √2 = 2 + (1/2) 1.1^4 + 0.8^4 = 3.14165
個人的に…
無理数とは一生続くと考えられているが
無理数とは人間が解けないことにより勝手に
無理だと諦めた数字であるよって無理数は存在しない…(そう信じている!!)
>>186
π^2 = (3 + 14/99)^2
= 9 + 28/33 + 1/50
= 10 - 5/33 + 16/(23・33)
= 10 - 3/23
= 9.86956522
π^2 = (3 + 14/99)^2
= 9 + 28/33 + 1/50
= 10 - 5/33 + 23/(33^2)
= 9.86960514 >>197
φ = √(π/a) より
π = aφ^2,
π - a - √(aπ) = 0,
0 = (π-a)^2 - aπ
= π^2 - 3aπ + aa
= (π - 3a/2)^2 - 5aa/4,
π = aφ^2 = (3+√5)a/2 = 1.8 + √1.8 >>206
下から2行目
π = (√3 + √2) {1 - 1/(4√3・π^4)},
を4乗して
π^4 = (√3 + √2)^4 {1 - 1/(√3・π^4)},
これを解いて
{π/(√3 + √2)}^4 = (1 + √(1 - 196/√3 + 80√2))/2 = 0.994072927
∴ π = (0.994072927)^(1/4) * (√3 + √2)
= 0.998514926 (√3 + √2)
= 3.14159194
最後の行は
1/π = (√3 - √2) {1 + 1/(4√3・π^4)}, a = 0.00727079154 に対して
π = √(3-a) + √(2-a) = 3.141591246
1/π = √(3-a) - √(2-a) = 0.318310029
π + 1/π = 2√(3-a) = 3.459901275
π - 1/π = 2√(2-a) = 2.823281217
(a = 1 - exp(-α),
α = 0.00729735257 は Sommerfeld の微細構造定数)
π≒22/7 と π≒(20/9)√2 から
π = (160/9)√2 - 22 = 3.14157444
π ≒ (20/9)√2 = 3.1427
π ≒ (64/27)(√2 - 4/45) = 3.14151
から
π = (64/29){(77/72)√2 - 4/45} = 3.14159216
0215132人目の素数さん2021/03/08(月) 02:34:48.15ID:Vhpg2AFq
>>206
p = √3 + √2 = 3.14626437
π = p - (√2) /p^5 - √(2/3) /p^8 - … = 3.14159223 (3 + √5)(√7 + √11) = 31.2194 > π^3,
(3 + √11)(√5 + √7) = 30.8366 < π^3,
π = [(3 + √5)(√5 + √7)(√7 + √11)(√11 + 3) - (√7)/2]^{1/6}
= 3.141587
π = [(3 + √5)(√5 + √7)(√7 + √11)(√11 + 3)]^{1/6} - 8/(571√385)
= 3.1415926518
tan(1) < π/2.
(略証)
1 = π/3 - δ,
δ = 0.04719755
加法公式で
tan(1) = tan(π/3 - δ)
= {tan(π/3) - tanδ}/{1 + tan(π/3)tanδ}
= (√3 - tanδ)/{1 + (√3)tanδ}
< 3/(√3 + 4 tanδ)
< 3/(√3 + 4 δ)
< 3/(1.732 + 4・0.047)
= 3 / 1.92
= (5/4)^2
< π/2,
なお tan(π/4) = 1,
>>196
√(π/1.2) = φ を利用して「円積問題」を解く。
半径rの円が与えられたとする。
(-r,0) (6r/5,0) を直径の両端とする円を描く。
y軸との交点は A(0,±L) L= r√(6/5),
B(L/2,0) とすると AB = (√5)/2・L
Bを中心とし、Aを通る円周を描く。
x軸との交点は C(Lφ,0)
OCを一辺とする正方形を描く。
その面積は与えられた円の面積にほぼ等しい。 >>174
(π^4)/90 = ζ(4) = 1.0823232337 = (97 + 9/22)/90,
兄さん兄さん兄さん… {x^(3/2) - 1}^2 - x^2 = 11,
(x^3 - x^2 - 10)^2 - 4x^3 = 0,
の解だから無理数だよ
>>218
arctan(2/π)
= 2 arctan(2/[π + √(π^2 + 4)]) (← 半角)
< 2 arctan(π/[π^2 + 1 - 1/π^2])
< 2 arctan(0.291745)
< 2{0.291745 - (0.291745^3)/3 + (0.291745^5)/5} (←マクローリン)
< 0.567781
< (π/2) - 1,
∴ arctan(π/2) > 1,
∴ π/2 > tan(1).
*) √(π^2 + 4) > π + (2/π) - 2/(π^3), >>171
>>176
π = (31 + 6/31^2)^{1/3} = 3.14159153
π = (31^2 + 12/31)^{1/6} = 3.14159151 >>176
X=π^3 とおくと
X^4 - 31X^3 - 187 = 0,
X = 31.006273254
X^(1/3) = 3.141592538
(別解)
X^3 - 31X^2 -6 = 0,
X = {31 + [31^3 +81 +9√(2・31^3 + 81)]^(1/3) + [31^3 +81 -9√(2・31^3 +81]^(1/3)}/3
= 31.0062409821
X^(1/3) = 3.141591448 0225132人目の素数さん2022/11/02(水) 09:23:11.80ID:nyCJInth
πの無理数性の新証明を見つけたら修士論文くらいにはなりますか?
0226132人目の素数さん2022/11/26(土) 08:25:28.77ID:cOoLGtHt
無理じゃないの?
0227132人目の素数さん2022/11/26(土) 08:56:53.87ID:xE0lerTW
それは使う公理によるかもしれない
円周率の新発見7π-21=0.9911485751285このあと1-0.9911485751285とやると0.0088514248715になる
あとはこれに円周率3.1415926535897を足し算していくと22で22.0000000000000になります不思議です
0229132人目の素数さん2022/12/15(木) 14:42:41.61ID:j/qjOTBM
円周率の無理数性は選択公理とは独立か?
0230132人目の素数さん2022/12/21(水) 23:01:28.87ID:F669Iarw
0231132人目の素数さん2023/01/08(日) 19:44:03.96ID:uTvFHkA6
真円どころか楕円の面積すら
ゲロ四苦八苦してるじゃん
0232132人目の素数さん2023/02/01(水) 22:25:06.25ID:46mUOm8U
無理数であることがすぐわかるような有理近似列はないか
ルート2を近似する連分数をとったら
もっといいのがあるかな
0234132人目の素数さん2023/02/06(月) 18:20:39.90ID:nxkRm8+k
ChatGPTに質問してみたら答えがわかるかもしれないな。
0235132人目の素数さん2023/02/09(木) 07:23:32.06ID:flh2pCkJ
0236132人目の素数さん2023/02/09(木) 09:26:31.59ID:IHBT6Jl6
arctanが代数函数ではないことは零点を見れば明白だが
πの連分数展開からは代数性は明白ではない。
2次の無理数の特徴づけに類したものが必要であろう。
0237132人目の素数さん2023/02/09(木) 09:52:54.20ID:IHBT6Jl6
訂正
代数性はー−>非代数性は
0238132人目の素数さん2023/02/10(金) 09:36:46.30ID:Gw+Md1wQ
こういうことは成り立つか?
「循環をしない無限に続く連分数により与えられる数は無理数」?
0239132人目の素数さん2023/02/10(金) 09:42:05.02ID:TLtLyVEx
無限に続けば無理数
有理数ではない、すなわち無理数というののは素朴に実感できるが
超越数というのは実感に訴えにくい
だから解析数論という分野があるんだろう
0241132人目の素数さん2023/02/10(金) 21:53:41.31ID:sabvD+5c
無理数というのを
有理数からの離れ具合で理解すれば
超越数は素朴に実感できる
0242132人目の素数さん2023/02/11(土) 11:54:45.00ID:pR1ugPcF
有限状態オートマトンから生成される、小数展開の列が定める実数については
それが代数的無理数にはならないというようなことを(うろ覚えだが)
たしか、ファンデルポールテンという人が示したというような記憶がある。
でもどこに証明が載っているかを知らない。