なぜan→aの定義から始めないかというと
特定の値に無限に近づいていくというイメージが
∀ε>0∃m∈N∀n>m (|an-a|<ε)
に結びつかない人が居るから
なぜかそういう人でも
無限大になる（無限に大きくなる）定義を
∀a∈R∃m∈N∀n>m (an>a)
と結びつけるのはできたりする
おそらく無限に近寄るより無限に大きくなる方が理解しやすいのだろう