>>500
＞さて AI壁打ち
＞（ガロア本なら大概載っているよ。）

でも、後期高齢👴さん、理解してないんでしょ

＞（おっと ”1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると”は、ちょっとスベッているぞ
＞証明を述べるときの定型文の作法が いまいちか）

全然滑ってませんけど　後期高齢👴さんこそ滑ってますね
定型文の作法？　なにトンチンカンなこといってるんですか

で、以下の証明の５ステップのうち
後期高齢👴さんが理解できないのはどこですか？

２の「長さ３の巡回置換の共役性」ですか？
３の「長さ３の巡回置換の積で表せる」ですか？

＞交代群 A_5が単純群である ことの 証明は？

＞＜AI による概要＞
＞交代群 \(A_{5}\)（5次交代群）が単純群（非自明な正規部分群を持たない）であることの証明は、
＞主に「\(A_{5}\) が長さ3の巡回置換で生成される」ことと「長さ3の巡回置換がすべて共役」であることを利用します。
＞1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると、3-cycleを含むため \(A_{5}\) と一致することが示されます。

＞\(A_{5}\) が単純群であることの証明の骨子

＞1.定義の確認
＞5次交代群 \(A_{5}\) は、1から5までの5つの数字の偶置換（長さ2の互換の偶数個の積）の集合であり、位数は \(\frac{5!}{2}=60\) です。

＞2.長さ3の巡回置換（3-cycle）の共役性
＞ \(A_{5}\) において、すべての長さ3の巡回置換（例: (123)）は共役です。
＞つまり、1つでも3-cycleを正規部分群 \(H\) が含んでいれば、\(H\) はすべての3-cycleを含みます。

＞3.3-cycleによる生成
＞\(A_{5}\) のすべての要素は、長さ3の巡回置換の積で表すことができます。

＞4.非自明な正規部分群Hの仮定
＞\(H\) を \(A_{5}\) の1以外の正規部分群とします。
＞正規部分群は共役な要素をまとめて含むため、\(H\) が3-cycleを含めば \(H=A_{5}\) となります。

＞5.結論
＞任意の非自明な正規部分群が3-cycleを持つことを証明することで、
＞\(A_{5}\) が単純群であることを示します。

＞この事実は、「5次以上の方程式に解の公式が存在しない」ことを示す
＞「可解群ではない」という証明において非常に重要です。