A_5が単純群である の証明は 矢ヶ部でも Coxでもあるよ
クラインの本は A5を 正12面体群という幾何と結びつけたんだ
”エルランゲンのおじさん” らしいじゃないかね
さて AI壁打ちは 下記だなｗ （＾＾
（ガロア本なら大概載っているよ。さらに 必要なら 不明部分を壁打ちしなさい）
（おっと ”1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると”は、ちょっとスベッているぞｗ 証明を述べるときの定型文の作法が いまいちかｗ）
(google検索)
交代群 A_5が単純群である ことの 証明は？
＜AI による概要＞
交代群 \(A_{5}\)（5次交代群）が単純群（非自明な正規部分群を持たない）であることの証明は、主に「\(A_{5}\) が長さ3の巡回置換で生成される」ことと「長さ3の巡回置換がすべて共役」であることを利用します。1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると、3-cycleを含むため \(A_{5}\) と一致することが示されます。
\(A_{5}\) が単純群であることの証明の骨子
1.定義の確認: 5次交代群 \(A_{5}\) は、1から5までの5つの数字の偶置換（長さ2の互換の偶数個の積）の集合であり、位数は \(\frac{5!}{2}=60\) です。
2.長さ3の巡回置換（3-cycle）の共役性: \(A_{5}\) において、すべての長さ3の巡回置換（例: (123)）は共役です。つまり、1つでも3-cycleを正規部分群 \(H\) が含んでいれば、\(H\) はすべての3-cycleを含みます。
3.3-cycleによる生成: \(A_{5}\) のすべての要素は、長さ3の巡回置換の積で表すことができます。
4.非自明な正規部分群Hの仮定: \(H\) を \(A_{5}\) の1以外の正規部分群とします。正規部分群は共役な要素をまとめて含むため、\(H\) が3-cycleを含めば \(H=A_{5}\) となります。
5.結論: 任意の非自明な正規部分群が3-cycleを持つことを証明することで、\(A_{5}\) が単純群であることを示します。
この事実は、「5次以上の方程式に解の公式が存在しない」ことを示す「可解群ではない」という証明において非常に重要です。
