前スレ：Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 82
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1768122529/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13
＜2026年は大きな動きがないかも＞
（2030 ICM 日本開催に向け 力をためようということかも）
https://ahgt.math.cnrs.fr/news/index.html
News of the AHGT project [Special year]2027-2028
Special year ``Arithmetic Homotopy Geometry'' at RIMS Kyoto, April 2027-March 2028.
Three Seasons: with main conferences, introductory lectures, and workshops
＜2026年は 数学でもAIの時代になるかもです。そういう兆候が2025年から顕著になっていますですｗ （＾＾； ＞
＜IUT最新文書＞
・News – Ivan Fesenko https://ivanfesenko.org/?page_id=80
・望月新一＠数理研 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論 ＜新展開＞ 2025年5月、中国の若手数学者の周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した
・日仏遠アーベル共同研究 Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
＜Grokipedia＞
Inter-universal Teichmüller theory https://grokipedia.com/page/Inter-universal_Teichm%C3%BCller_theory
遠アーベル幾何学 https://grokipedia.com/page/Anabelian_geometry
アーベル圏 abelian category Grokipedia https://grokipedia.com/page/Abelian_category
https://zen.ac.jp/lp/icp
IUT Challenger Prizeの紹介 2023年7月
審査の対象とする論文については、MathSciNetに載っていて、かつ、過去10年間に数論幾何の論文が10本以上掲載されている数学の専門誌に査読の上でアクセプトまたは掲載されたもの
://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
Anabelian Geometry and Representations of Fundamental Groups. Oberwolfach workshop MFO-RIMS Sep. 29-Oct. 4, 2024
Org.: A. Cadoret, F. Pop, J. Stix, A.. Topaz
（J. Stixさん、IUT支持側へ）
://collas.perso.math.cnrs.fr/documents/Collas-Anabelian%20Arithmetic%20Geometry-IUT.pdf
“ANABELIAN ARITHMETIC GEOMETRY - A NEW GEOMETRY OF FORMS AND NUMBERS: Inter-universal Teichmüller theory or “beyond Grothendieck’s vision” Benjamin Collas Version 11/15/2023”
このスレの番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！）
(余談)
Langlands program Geometric conjectures https://en.wikipedia.org/wiki/Langlands_program
つづく
探検
Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 83
1１３２人目の素数さん
2026/01/25(日) 10:23:27.02ID:gmEwc3v4446１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 11:44:39.04ID:ww/o4tbP オイラーとコーシーの時代で、大分差があったと聞く。
447１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 11:47:15.71ID:WVzSK23w >>437
>直感で理解し
>論理で証明するのが数学
ID:QmPJa57s は、御大か
巡回ありがとうございます
そうです そうです
目指すべきは 自分なりの 直感的理解であって
自分なりの 直感的理解 を水源として
それを すらすらと 論理の証明に落とせる
これぞ 高等数学 水道方式なり
めざすべきは これですね
εδのお経を わけわからず 暗記暗唱する（一時的には やむをえないとしても）
だが それで止まっては 門前の小僧と大差ない
それを 自分なりの 直感的理解の水源として 活用できるよう
めざすべきは これですね （＾＾
>直感で理解し
>論理で証明するのが数学
ID:QmPJa57s は、御大か
巡回ありがとうございます
そうです そうです
目指すべきは 自分なりの 直感的理解であって
自分なりの 直感的理解 を水源として
それを すらすらと 論理の証明に落とせる
これぞ 高等数学 水道方式なり
めざすべきは これですね
εδのお経を わけわからず 暗記暗唱する（一時的には やむをえないとしても）
だが それで止まっては 門前の小僧と大差ない
それを 自分なりの 直感的理解の水源として 活用できるよう
めざすべきは これですね （＾＾
448１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 11:49:44.02ID:aS4cCSvr >なんで正二十面体群だと単純群だと思えるのか
>全然わかりませんね
うん、その通り。おそらくクラインの本はほとんど読めておらず
豚に真珠の無駄本だったが、「役に立った！」と思いたいがために
変な理屈を付けて強弁してるだけじゃないかな。
>全然わかりませんね
うん、その通り。おそらくクラインの本はほとんど読めておらず
豚に真珠の無駄本だったが、「役に立った！」と思いたいがために
変な理屈を付けて強弁してるだけじゃないかな。
449１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 11:50:51.06ID:NTBADW/B 数学を訓詁学にしようとしてる人が居ますね
450１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 11:58:32.85ID:ww/o4tbP >>440
リーマンの写像定理はワイエルシュトラスが反例を見つけて、1回ダメになったみたい。
リーマンの写像定理はワイエルシュトラスが反例を見つけて、1回ダメになったみたい。
451１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 12:14:06.08ID:aS4cCSvr >直感で理解し
>論理で証明するのが数学
直感だけで最後まで行ける（理解できる）なら
論理は必要ないだろう。が、直感はしばしば間違ってるし
限界があるから、「論理的な証明が必要」という
共通認識のもとに成り立ってるのが数学と思うが。
>論理で証明するのが数学
直感だけで最後まで行ける（理解できる）なら
論理は必要ないだろう。が、直感はしばしば間違ってるし
限界があるから、「論理的な証明が必要」という
共通認識のもとに成り立ってるのが数学と思うが。
452１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 12:28:19.76ID:aS4cCSvr ダニエル・カーネマンの言う、「速い思考と遅い思考」。
速い思考が直感。これは人類が進化の過程で身に着けたもので
生死に関わる場面では、正確さよりも取り合えず速く
「答えを出す」ことが必要だったから。
遅い思考が論理。学問というのは、おしなべて「遅い思考」
に属するものと思う。
中間的なものとして、ヒューリスティックというのもある。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF
歴史上の数学者が、完全な証明を持っていなくても、預言者
のように正しい答えを出せた秘密の一端はここにある。
速い思考が直感。これは人類が進化の過程で身に着けたもので
生死に関わる場面では、正確さよりも取り合えず速く
「答えを出す」ことが必要だったから。
遅い思考が論理。学問というのは、おしなべて「遅い思考」
に属するものと思う。
中間的なものとして、ヒューリスティックというのもある。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF
歴史上の数学者が、完全な証明を持っていなくても、預言者
のように正しい答えを出せた秘密の一端はここにある。
453１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 12:39:42.73ID:aS4cCSvr ガロアが試行錯誤の結果か、ヒューリスティックを用いたかは定かではないが
A_5が単純群であるという事実を知っていたとしても、現代の我々が
正確な証明をしなくてもよいということにはならない。
そして、正確な証明をしようとすれば、それなりに面倒な部分はある。
その認識に至っていないセタは、理解に至っていないということ。
「正二十面体群と同型」だと言われて、「分かった（気がする）」
とかいうのは頓珍漢な錯覚に過ぎない。
A_5が単純群であるという事実を知っていたとしても、現代の我々が
正確な証明をしなくてもよいということにはならない。
そして、正確な証明をしようとすれば、それなりに面倒な部分はある。
その認識に至っていないセタは、理解に至っていないということ。
「正二十面体群と同型」だと言われて、「分かった（気がする）」
とかいうのは頓珍漢な錯覚に過ぎない。
454１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 12:53:42.36ID:ww/o4tbP フェルマーが大変な証明になる大定理を「直観」で成り立つと思ってくれたおかげで、面白い数学の歴史が出来上がった。
455１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 13:38:47.52ID:dY4W0CBg >>443
>数学で 例（ウチ）と例外（ソト）の二つをペアで理解する
>これ 数学理解のコツだね
ぜんぜん。
君の言う例外とは例外の例のことだから例外の例外が存在し、例外の例外の例外の・・・に終わりは無い。
結局例や例外はそれ以上のなにものでもないから、例や例外だけ理解したところで完全な理解からは程遠い。
>数学で 例（ウチ）と例外（ソト）の二つをペアで理解する
>これ 数学理解のコツだね
ぜんぜん。
君の言う例外とは例外の例のことだから例外の例外が存在し、例外の例外の例外の・・・に終わりは無い。
結局例や例外はそれ以上のなにものでもないから、例や例外だけ理解したところで完全な理解からは程遠い。
456１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 14:11:30.77ID:dY4W0CBg >>447
>自分なりの 直感的理解 を水源として
>それを すらすらと 論理の証明に落とせる
じゃあ命題 lim[n→∞]1/2^n=0 を証明してみて
高校生でも分かる簡単な命題だからすらすらできるよね？
>自分なりの 直感的理解 を水源として
>それを すらすらと 論理の証明に落とせる
じゃあ命題 lim[n→∞]1/2^n=0 を証明してみて
高校生でも分かる簡単な命題だからすらすらできるよね？
457１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 14:32:57.70ID:ww/o4tbP アルキメデスは浮力の原理を理解したとき、服を着ないで喜びを表したという。
458１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 15:14:56.64ID:+hUalzYf 主 文
被告人を死刑に処する。
理 由
【認定事実】
被告人は、昭和59年12月16日、茨城県水戸市にて出生し、水戸市立小学校・中学校から
岩瀬日本大学高等学校を経て、茨城大学に入学し同大学院を修了した。
(略）
【量刑の理由】
被告人は、自分が最終認諾したとして多数の支援者を得て令和真理教（教団）を設立し、
その勢力の拡大を図ろうとして国政選挙に打って出たものの惨敗したことから、
今度は教団の武装化により教団の勢力の拡大を図ろうとし、ついには救済の名の下に世界を支配して自らその王となることを空想し、
多数の支援者を獲得するとともにクラウドファンディングの名目でその資産を根こそぎ吸い上げて資金を確保する一方で、
多額の資金を投下して教団の武装化を進め、無差別大量薩戮を目的とする化学兵器サリンを大量に製造してこれを水戸市で散布した。
そして、被告人はこのような自分の思い描いた空想の妨げになるとみなした者は教団の内外を問わずこれを敵対視し、
その悪業をこれ以上積ませないようにポアする、すなわち薩害するという身勝手な教義の解釈の下にその命を奪ってまでも排斥しようと考え、
サポートスタッフに指示し、以下のとおり、一連の薩人・薩人未遂等の犯行を敢行した。
（略）
これまで述べてきた本件罪質、犯行の回数・規模、その動機・目的、経緯、態様、結果の重大性、社会に与えた影響、被害感情等からすると、
本件一連の犯行の淵源であり主謀者である被告人の刑事責任は極めて重大であり、被告人のために酌むべき事情その他一切の事情をできる限り考慮し、
かつ、極刑の選択に当たっては最大限慎重な態度で臨むべきであることを考慮しても、被告人に対しては死刑をもって臨む以外に途はない。
水戸地方裁判所刑事第２部
裁判長裁判官 益 子 翼
裁判官 小 野 敏 人
裁判官 高 橋 修一郎
被告人を死刑に処する。
理 由
【認定事実】
被告人は、昭和59年12月16日、茨城県水戸市にて出生し、水戸市立小学校・中学校から
岩瀬日本大学高等学校を経て、茨城大学に入学し同大学院を修了した。
(略）
【量刑の理由】
被告人は、自分が最終認諾したとして多数の支援者を得て令和真理教（教団）を設立し、
その勢力の拡大を図ろうとして国政選挙に打って出たものの惨敗したことから、
今度は教団の武装化により教団の勢力の拡大を図ろうとし、ついには救済の名の下に世界を支配して自らその王となることを空想し、
多数の支援者を獲得するとともにクラウドファンディングの名目でその資産を根こそぎ吸い上げて資金を確保する一方で、
多額の資金を投下して教団の武装化を進め、無差別大量薩戮を目的とする化学兵器サリンを大量に製造してこれを水戸市で散布した。
そして、被告人はこのような自分の思い描いた空想の妨げになるとみなした者は教団の内外を問わずこれを敵対視し、
その悪業をこれ以上積ませないようにポアする、すなわち薩害するという身勝手な教義の解釈の下にその命を奪ってまでも排斥しようと考え、
サポートスタッフに指示し、以下のとおり、一連の薩人・薩人未遂等の犯行を敢行した。
（略）
これまで述べてきた本件罪質、犯行の回数・規模、その動機・目的、経緯、態様、結果の重大性、社会に与えた影響、被害感情等からすると、
本件一連の犯行の淵源であり主謀者である被告人の刑事責任は極めて重大であり、被告人のために酌むべき事情その他一切の事情をできる限り考慮し、
かつ、極刑の選択に当たっては最大限慎重な態度で臨むべきであることを考慮しても、被告人に対しては死刑をもって臨む以外に途はない。
水戸地方裁判所刑事第２部
裁判長裁判官 益 子 翼
裁判官 小 野 敏 人
裁判官 高 橋 修一郎
459１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 16:43:28.12ID:WVzSK23w >>445
>ストンワイエルシュトラスの定理
へー なるほど・・・
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93Weierstrass_theorem
Stone–Weierstrass theorem
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ストーン＝ワイエルシュトラスの定理
ストーン・ワイエルシュトラスの定理（英語: Stone–Weierstrass theorem）とは、局所コンパクト空間上の連続関数の代数系における部分代数の稠密性に関する定理である。
ワイエルシュトラスの近似定理がその原型であり、1937年にマーシャル・ストーンによって大幅に一般化された現在の形の結果が得られた。
ストーン・ワイエルシュトラスの定理は、局所コンパクトハウスドルフ空間 X 上定められた複素数値の連続関数の代数系 C(X) の部分代数 A が一様収束の位相に関して稠密になるための十分条件として、
1.Aの元によって X の任意の異なる点が分離されること
2.関数の複素共役をとる操作について A が閉じていること
の二つが両立していること、を挙げている。Xが実閉区間であるとき多項式関数のなす代数系は上記の条件を共に満たすため、ワイエルシュトラスの近似定理はストーン・ワイエルシュトラスの定理の特別な場合になっている。
ワイエルシュトラスの近似定理
ワイエルシュトラスの近似定理（ワイエルシュトラスのきんじていり、（英: Weierstrass approximation theorem）は連続関数の多項式近似に関する定理である。
ワイエルシュトラスの近似定理は、閉区間上のどんな連続関数も多項式関数によって任意の精度で一様に近似できることを述べている。
f を閉区間 [a, b] 上の連続関数とせよ。任意の ε > 0 について多項式 p であって、[a,b] の任意の点 x に対し| ƒ(x) − p(x) | < ε を満たすようなものが存在する。
言い換えると閉区間上の連続関数のなす集合において、多項式からなる部分集合は一様ノルム（の誘導する距離）に関して稠密である。したがって、そのような連続関数に対しては一様収束する多項式列が存在する。ワイエルシュトラスは
e^−x^2 に代表されるような良い減少性をもつ関数の高階微分によって表される積分作用素によって、与えられた関数 f を近似するような多項式たちの係数を与えた。
実の場合のストーン・ワイエルシュトラスの定理
閉区間[a,b]上の連続関数のなす集合は sup-ノルムによってバナッハ環になる。つまり、このノルムに関して位相線型空間として完備であり、各点での値の積をとることによって定まる環の構造について ||fg|| < ||f||·||g||が成り立っているということである。ワイエルシュトラスの近似定理とは、このバナッハ環の中で多項式関数のなす部分環が稠密であるということをのべている
つづく
>ストンワイエルシュトラスの定理
へー なるほど・・・
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93Weierstrass_theorem
Stone–Weierstrass theorem
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ストーン＝ワイエルシュトラスの定理
ストーン・ワイエルシュトラスの定理（英語: Stone–Weierstrass theorem）とは、局所コンパクト空間上の連続関数の代数系における部分代数の稠密性に関する定理である。
ワイエルシュトラスの近似定理がその原型であり、1937年にマーシャル・ストーンによって大幅に一般化された現在の形の結果が得られた。
ストーン・ワイエルシュトラスの定理は、局所コンパクトハウスドルフ空間 X 上定められた複素数値の連続関数の代数系 C(X) の部分代数 A が一様収束の位相に関して稠密になるための十分条件として、
1.Aの元によって X の任意の異なる点が分離されること
2.関数の複素共役をとる操作について A が閉じていること
の二つが両立していること、を挙げている。Xが実閉区間であるとき多項式関数のなす代数系は上記の条件を共に満たすため、ワイエルシュトラスの近似定理はストーン・ワイエルシュトラスの定理の特別な場合になっている。
ワイエルシュトラスの近似定理
ワイエルシュトラスの近似定理（ワイエルシュトラスのきんじていり、（英: Weierstrass approximation theorem）は連続関数の多項式近似に関する定理である。
ワイエルシュトラスの近似定理は、閉区間上のどんな連続関数も多項式関数によって任意の精度で一様に近似できることを述べている。
f を閉区間 [a, b] 上の連続関数とせよ。任意の ε > 0 について多項式 p であって、[a,b] の任意の点 x に対し| ƒ(x) − p(x) | < ε を満たすようなものが存在する。
言い換えると閉区間上の連続関数のなす集合において、多項式からなる部分集合は一様ノルム（の誘導する距離）に関して稠密である。したがって、そのような連続関数に対しては一様収束する多項式列が存在する。ワイエルシュトラスは
e^−x^2 に代表されるような良い減少性をもつ関数の高階微分によって表される積分作用素によって、与えられた関数 f を近似するような多項式たちの係数を与えた。
実の場合のストーン・ワイエルシュトラスの定理
閉区間[a,b]上の連続関数のなす集合は sup-ノルムによってバナッハ環になる。つまり、このノルムに関して位相線型空間として完備であり、各点での値の積をとることによって定まる環の構造について ||fg|| < ||f||·||g||が成り立っているということである。ワイエルシュトラスの近似定理とは、このバナッハ環の中で多項式関数のなす部分環が稠密であるということをのべている
つづく
460１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 16:43:56.11ID:WVzSK23w つづき
ストーンは任意のコンパクトハウスドルフ空間 X に対し、その上の実数値連続関数のなす環 C(X,R) を考察した。この環は sup-ノルムに関してバナッハ環となっているが、その部分環 A が稠密になるための決定的な条件とは A が X の点を分離すること、であるということをストーンは見いだした。これはすなわち、 X の異なる二つの点 x, y について A の元 f であって f(x) と f(y) とが異なるようなものが存在することである。
ストーン・ワイエルシュトラスの定理は以下のように述べられる。
X をコンパクトハウスドルフ空間とし、A を C(X,R)の部分環であって 0 でない定数関数を含むものとせよ。そのとき、A が X の点を分離することと、Aが C(X,R)で稠密であることとは同値である
複素の場合のストーン・ワイエルシュトラスの定理
コンパクトハウスドルフ空間上の複素数値連続関数のなす環についても部分環の稠密性を導く同様の定理が知られている。
X をコンパクトハウスドルフ空間とし、A をX 上の複素数値連続関数環 C(X,C) の部分環で定数関数をふくむものとする。Aが複素共役について閉じており、X の各点を分離するならば A は C(X,C) の sup-ノルムに関して稠密である。
この定理は実の場合のストーン・ワイエルシュトラスの定理と同値になる。実際、上のように A が複素共役について閉じたC(X,C) の部分環であるとき、Aの任意の元の実部は再び A に属するし、C(X, R) の部分環 B がX の各点を分離するならば A = B + i B は上の条件を満たすからである。
局所コンパクト空間に対するストーン・ワイエルシュトラスの定理
局所コンパクト空間上の連続関数で無限遠で消えているようなものに対しても同様の稠密性の条件を与える定理が成り立っている。非コンパクトな空間に対しては定数関数は無限遠で消えていないため、対応する条件は X の任意の点 x に対して部分環に属する関数 f で f(x) ≠ 0 となるようなものがあるかどうか、ということになる。こちらの条件は稠密性の必要条件を与えてもいる。
X を局所コンパクト空間とし、 AをC0(X, R)の部分環とせよ。AがX の任意の点を分離し、任意の点に対してAの元であってそこで消えないようなものが存在するとき、およびその時に限りA は sup-ノルムに関して稠密である
(引用終り)
以上
ストーンは任意のコンパクトハウスドルフ空間 X に対し、その上の実数値連続関数のなす環 C(X,R) を考察した。この環は sup-ノルムに関してバナッハ環となっているが、その部分環 A が稠密になるための決定的な条件とは A が X の点を分離すること、であるということをストーンは見いだした。これはすなわち、 X の異なる二つの点 x, y について A の元 f であって f(x) と f(y) とが異なるようなものが存在することである。
ストーン・ワイエルシュトラスの定理は以下のように述べられる。
X をコンパクトハウスドルフ空間とし、A を C(X,R)の部分環であって 0 でない定数関数を含むものとせよ。そのとき、A が X の点を分離することと、Aが C(X,R)で稠密であることとは同値である
複素の場合のストーン・ワイエルシュトラスの定理
コンパクトハウスドルフ空間上の複素数値連続関数のなす環についても部分環の稠密性を導く同様の定理が知られている。
X をコンパクトハウスドルフ空間とし、A をX 上の複素数値連続関数環 C(X,C) の部分環で定数関数をふくむものとする。Aが複素共役について閉じており、X の各点を分離するならば A は C(X,C) の sup-ノルムに関して稠密である。
この定理は実の場合のストーン・ワイエルシュトラスの定理と同値になる。実際、上のように A が複素共役について閉じたC(X,C) の部分環であるとき、Aの任意の元の実部は再び A に属するし、C(X, R) の部分環 B がX の各点を分離するならば A = B + i B は上の条件を満たすからである。
局所コンパクト空間に対するストーン・ワイエルシュトラスの定理
局所コンパクト空間上の連続関数で無限遠で消えているようなものに対しても同様の稠密性の条件を与える定理が成り立っている。非コンパクトな空間に対しては定数関数は無限遠で消えていないため、対応する条件は X の任意の点 x に対して部分環に属する関数 f で f(x) ≠ 0 となるようなものがあるかどうか、ということになる。こちらの条件は稠密性の必要条件を与えてもいる。
X を局所コンパクト空間とし、 AをC0(X, R)の部分環とせよ。AがX の任意の点を分離し、任意の点に対してAの元であってそこで消えないようなものが存在するとき、およびその時に限りA は sup-ノルムに関して稠密である
(引用終り)
以上
461１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 16:58:29.96ID:fXfi8CWR >>442
>ストンと腹落ちる掘り下げて理解しておくべし！
後期高齢👴さまへ
実は、数列の収束
∀ε >0, ∃n s.t. ∀m[ m>n → |x-x‗m|<ε]
も、数列を関数(N∪{∞})→R
x(n)
=x_n (n∈N)
=x (n=∞)
と定義し、さらに(N∪{∞})の開集合を{x|x>n＆n∈N}とすると
Rの点xのε開近傍{x0| |x-x0|<ε}の逆像が開集合{x|x>n＆n∈N}に写像することとして
数列関数xの点 n=∞ での連続に対応し、"ストンと腹落ちる"
これ豆な
>ストンと腹落ちる掘り下げて理解しておくべし！
後期高齢👴さまへ
実は、数列の収束
∀ε >0, ∃n s.t. ∀m[ m>n → |x-x‗m|<ε]
も、数列を関数(N∪{∞})→R
x(n)
=x_n (n∈N)
=x (n=∞)
と定義し、さらに(N∪{∞})の開集合を{x|x>n＆n∈N}とすると
Rの点xのε開近傍{x0| |x-x0|<ε}の逆像が開集合{x|x>n＆n∈N}に写像することとして
数列関数xの点 n=∞ での連続に対応し、"ストンと腹落ちる"
これ豆な
462１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 17:00:27.56ID:ww/o4tbP463１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 17:15:46.39ID:fXfi8CWR >>444
後期高齢👴さん
＞おれが知りたかったのは、ガロアが見ていた原風景なんだよ
ガロアは交代群An(n>=5)が単純群であることの
現代的証明を持っていなかったとAIも言ってる
今知られてる証明はジョルダンによるものらしい
ガロアはA5が単純群であるだろうと考えていたが
その根拠とされるものは共役類のサイズを使った証明
にあたるものであろうと言われている
とはいえ、別に我々はこの件でガロアに立ち戻る必要がない
ありがとう カミーユ・ジョルダン！
ちなみにカミーユ・ジョルダンはガロアと違って、長生きした
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%A6%E3%83%BB%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3
後期高齢👴さん
＞おれが知りたかったのは、ガロアが見ていた原風景なんだよ
ガロアは交代群An(n>=5)が単純群であることの
現代的証明を持っていなかったとAIも言ってる
今知られてる証明はジョルダンによるものらしい
ガロアはA5が単純群であるだろうと考えていたが
その根拠とされるものは共役類のサイズを使った証明
にあたるものであろうと言われている
とはいえ、別に我々はこの件でガロアに立ち戻る必要がない
ありがとう カミーユ・ジョルダン！
ちなみにカミーユ・ジョルダンはガロアと違って、長生きした
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%A6%E3%83%BB%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3
464１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 17:20:25.37ID:WVzSK23w >>446
>オイラーとコーシーの時代で、大分差があったと聞く。
オイラーとコーシーの間にフーリエ解析があって
フーリエ解析は、大きな議論があったそうですね
それと、関数を実数から複素数に拡張する必要があった
というか、コーシーは 複素解析の創始者の一人で そのためにも
厳密化が必要だったのかもです
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%82%BC%E3%83%95%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8
ジャン・バティスト・ジョゼフ・フーリエ男爵（Jean Baptiste Joseph Fourier, Baron de、1768年3月21日 - 1830年5月16日）は、フランスの数学者・物理学者。
固体内での熱伝導に関する研究から熱伝導方程式（フーリエの方程式）を導き、これを解くためにフーリエ解析と呼ばれる理論を展開した。フーリエ解析は複雑な周期関数をより簡単に記述することができるため、音や光といった波動の研究に広く用いられ、現在調和解析という数学の一分野を形成している。
グルノーブル
熱伝導に関する最初の論文は1807年にアカデミー・デ・シアンスに提出された。ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ 、ピエール・シモン・ラプラス、モンジュ、アンドレ＝マリ・アンペールが論文の審査委員となった。ラプラスとラグランジュはフーリエ級数の正当性を疑問視し、ラプラス、ジャン＝バティスト・ビオ、シメオン・ドニ・ポアソンは熱伝導方程式の説明が不十分であると指摘し、アカデミーは内容が不十分だとして掲載は見送った。しかし有望さから1812年の懸賞論文の題目を「熱の解析的理論」とした[11]。これに応じ、フーリエは大幅に加筆訂正した第二論文を提出した。審査員のひとりであったラグランジュは、その数学的厳密性に難があると厳しく指摘した（実際、ラグランジュも似たことを考えていたが導出にまでは至らなかった）。しかしながら重要性が認められ、この論文はアカデミー大賞を受賞した
つづく
>オイラーとコーシーの時代で、大分差があったと聞く。
オイラーとコーシーの間にフーリエ解析があって
フーリエ解析は、大きな議論があったそうですね
それと、関数を実数から複素数に拡張する必要があった
というか、コーシーは 複素解析の創始者の一人で そのためにも
厳密化が必要だったのかもです
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%82%BC%E3%83%95%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8
ジャン・バティスト・ジョゼフ・フーリエ男爵（Jean Baptiste Joseph Fourier, Baron de、1768年3月21日 - 1830年5月16日）は、フランスの数学者・物理学者。
固体内での熱伝導に関する研究から熱伝導方程式（フーリエの方程式）を導き、これを解くためにフーリエ解析と呼ばれる理論を展開した。フーリエ解析は複雑な周期関数をより簡単に記述することができるため、音や光といった波動の研究に広く用いられ、現在調和解析という数学の一分野を形成している。
グルノーブル
熱伝導に関する最初の論文は1807年にアカデミー・デ・シアンスに提出された。ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ 、ピエール・シモン・ラプラス、モンジュ、アンドレ＝マリ・アンペールが論文の審査委員となった。ラプラスとラグランジュはフーリエ級数の正当性を疑問視し、ラプラス、ジャン＝バティスト・ビオ、シメオン・ドニ・ポアソンは熱伝導方程式の説明が不十分であると指摘し、アカデミーは内容が不十分だとして掲載は見送った。しかし有望さから1812年の懸賞論文の題目を「熱の解析的理論」とした[11]。これに応じ、フーリエは大幅に加筆訂正した第二論文を提出した。審査員のひとりであったラグランジュは、その数学的厳密性に難があると厳しく指摘した（実際、ラグランジュも似たことを考えていたが導出にまでは至らなかった）。しかしながら重要性が認められ、この論文はアカデミー大賞を受賞した
つづく
465１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 17:21:57.43ID:WVzSK23w つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%82%AE%E3%83%A5%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%AB%E3%82%A4%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC
オーギュスタン＝ルイ・コーシー（Augustin Louis Cauchy, 1789年8月21日 - 1857年5月23日）
研究内容
初期の研究では、コーシーは多面体に関するオイラーの定理に最初の証明を与え、また、置換計算を発展させることで群論の誕生に影響を与えた。解析学では、コーシーはそれまでの曖昧さを解消して、厳密な基礎を与えようとした。「厳密性」を目指したコーシーの解析学の講義はその後の解析学の教科書のスタイルの規範となった。彼は極限と無限小の概念を使って現在の連続関数を定義した。だが、コーシーの定義では、連続性と一様連続性を区別することができない、という問題を抱えていたことが明らかになる。実解析では、イプシロン-デルタ論法の原型となるアイデアによって級数の収束概念を形式的に捉え直した。これにより解析学全般の厳密な形式化が進行し、近代数学の基礎が築かれた。19世紀前半の複素解析の研究はほとんどがコーシーが行い、複素平面における積分の理論、留数計算など、基本概念の多くを独力で生み出していった。「コーシー列」、「コーシーの平均値の定理」、「コーシーの積分定理」、「コーシー・リーマンの方程式」などその名を冠する定理が現在でも解析学の基礎をなしている。
https://en.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy
Baron Augustin-Louis Cauchy
Cours d'analyse
Main article: Cours d'analyse
In his book Cours d'analyse Cauchy stressed the importance of rigor in analysis. Rigor in this case meant the rejection of the principle of Generality of algebra (of earlier authors such as Euler and Lagrange) and its replacement by geometry and infinitesimals.[20] Judith Grabiner wrote Cauchy was "the man who taught rigorous analysis to all of Europe".[21] The book is frequently noted as being the first place that inequalities, and
δ−ε
arguments were introduced into calculus. Here Cauchy defined continuity as follows: The function f(x) is continuous with respect to x between the given limits if, between these limits, an infinitely small increment in the variable always produces an infinitely small increment in the function itself.
https://en.wikipedia.org/wiki/Cours_d%27analyse
Cours d'analyse de l’École royale polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique ("Analysis Course" in English) is a seminal textbook in infinitesimal calculus published by Augustin-Louis Cauchy in 1821. The article follows the translation by Bradley and Sandifer in describing its contents.
(引用終り)
以上
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%82%AE%E3%83%A5%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%AB%E3%82%A4%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC
オーギュスタン＝ルイ・コーシー（Augustin Louis Cauchy, 1789年8月21日 - 1857年5月23日）
研究内容
初期の研究では、コーシーは多面体に関するオイラーの定理に最初の証明を与え、また、置換計算を発展させることで群論の誕生に影響を与えた。解析学では、コーシーはそれまでの曖昧さを解消して、厳密な基礎を与えようとした。「厳密性」を目指したコーシーの解析学の講義はその後の解析学の教科書のスタイルの規範となった。彼は極限と無限小の概念を使って現在の連続関数を定義した。だが、コーシーの定義では、連続性と一様連続性を区別することができない、という問題を抱えていたことが明らかになる。実解析では、イプシロン-デルタ論法の原型となるアイデアによって級数の収束概念を形式的に捉え直した。これにより解析学全般の厳密な形式化が進行し、近代数学の基礎が築かれた。19世紀前半の複素解析の研究はほとんどがコーシーが行い、複素平面における積分の理論、留数計算など、基本概念の多くを独力で生み出していった。「コーシー列」、「コーシーの平均値の定理」、「コーシーの積分定理」、「コーシー・リーマンの方程式」などその名を冠する定理が現在でも解析学の基礎をなしている。
https://en.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy
Baron Augustin-Louis Cauchy
Cours d'analyse
Main article: Cours d'analyse
In his book Cours d'analyse Cauchy stressed the importance of rigor in analysis. Rigor in this case meant the rejection of the principle of Generality of algebra (of earlier authors such as Euler and Lagrange) and its replacement by geometry and infinitesimals.[20] Judith Grabiner wrote Cauchy was "the man who taught rigorous analysis to all of Europe".[21] The book is frequently noted as being the first place that inequalities, and
δ−ε
arguments were introduced into calculus. Here Cauchy defined continuity as follows: The function f(x) is continuous with respect to x between the given limits if, between these limits, an infinitely small increment in the variable always produces an infinitely small increment in the function itself.
https://en.wikipedia.org/wiki/Cours_d%27analyse
Cours d'analyse de l’École royale polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique ("Analysis Course" in English) is a seminal textbook in infinitesimal calculus published by Augustin-Louis Cauchy in 1821. The article follows the translation by Bradley and Sandifer in describing its contents.
(引用終り)
以上
466１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 17:43:30.92ID:WVzSK23w >>446
>オイラーとコーシーの時代で、大分差があったと聞く。
オイラーとコーシーの間にフーリエ解析があって
フーリエ解析は、大きな議論があったそうですね
それと、関数を実数から複素数に拡張する必要があった
というか、コーシーは 複素解析の創始者の一人で そのためにも
厳密化が必要だったのかもです
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%82%BC%E3%83%95%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8
ジャン・バティスト・ジョゼフ・フーリエ男爵（Jean Baptiste Joseph Fourier, Baron de、1768年3月21日 - 1830年5月16日）は、フランスの数学者・物理学者。
固体内での熱伝導に関する研究から熱伝導方程式（フーリエの方程式）を導き、これを解くためにフーリエ解析と呼ばれる理論を展開した。フーリエ解析は複雑な周期関数をより簡単に記述することができるため、音や光といった波動の研究に広く用いられ、現在調和解析という数学の一分野を形成している。
グルノーブル
熱伝導に関する最初の論文は1807年にアカデミー・デ・シアンスに提出された。ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ 、ピエール・シモン・ラプラス、モンジュ、アンドレ＝マリ・アンペールが論文の審査委員となった。ラプラスとラグランジュはフーリエ級数の正当性を疑問視し、ラプラス、ジャン＝バティスト・ビオ、シメオン・ドニ・ポアソンは熱伝導方程式の説明が不十分であると指摘し、アカデミーは内容が不十分だとして掲載は見送った。しかし有望さから1812年の懸賞論文の題目を「熱の解析的理論」とした[11]。これに応じ、フーリエは大幅に加筆訂正した第二論文を提出した。審査員のひとりであったラグランジュは、その数学的厳密性に難があると厳しく指摘した（実際、ラグランジュも似たことを考えていたが導出にまでは至らなかった）。しかしながら重要性が認められ、この論文はアカデミー大賞を受賞した
つづく
>>463
>今知られてる証明はジョルダンによるものらしい
>ありがとう カミーユ・ジョルダン！
うん ありがとう
高木 近世数学史談 の
”21節 ガロアの遺言”
に書かれているが
ガロアの死後 に ジョルダンが判読して
置換論 1870年 の述作を成した
とあるね
>オイラーとコーシーの時代で、大分差があったと聞く。
オイラーとコーシーの間にフーリエ解析があって
フーリエ解析は、大きな議論があったそうですね
それと、関数を実数から複素数に拡張する必要があった
というか、コーシーは 複素解析の創始者の一人で そのためにも
厳密化が必要だったのかもです
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%82%BC%E3%83%95%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8
ジャン・バティスト・ジョゼフ・フーリエ男爵（Jean Baptiste Joseph Fourier, Baron de、1768年3月21日 - 1830年5月16日）は、フランスの数学者・物理学者。
固体内での熱伝導に関する研究から熱伝導方程式（フーリエの方程式）を導き、これを解くためにフーリエ解析と呼ばれる理論を展開した。フーリエ解析は複雑な周期関数をより簡単に記述することができるため、音や光といった波動の研究に広く用いられ、現在調和解析という数学の一分野を形成している。
グルノーブル
熱伝導に関する最初の論文は1807年にアカデミー・デ・シアンスに提出された。ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ 、ピエール・シモン・ラプラス、モンジュ、アンドレ＝マリ・アンペールが論文の審査委員となった。ラプラスとラグランジュはフーリエ級数の正当性を疑問視し、ラプラス、ジャン＝バティスト・ビオ、シメオン・ドニ・ポアソンは熱伝導方程式の説明が不十分であると指摘し、アカデミーは内容が不十分だとして掲載は見送った。しかし有望さから1812年の懸賞論文の題目を「熱の解析的理論」とした[11]。これに応じ、フーリエは大幅に加筆訂正した第二論文を提出した。審査員のひとりであったラグランジュは、その数学的厳密性に難があると厳しく指摘した（実際、ラグランジュも似たことを考えていたが導出にまでは至らなかった）。しかしながら重要性が認められ、この論文はアカデミー大賞を受賞した
つづく
>>463
>今知られてる証明はジョルダンによるものらしい
>ありがとう カミーユ・ジョルダン！
うん ありがとう
高木 近世数学史談 の
”21節 ガロアの遺言”
に書かれているが
ガロアの死後 に ジョルダンが判読して
置換論 1870年 の述作を成した
とあるね
467１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 17:45:33.95ID:WVzSK23w468１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 17:55:39.00ID:fXfi8CWR >>449
後期高齢👴さんは
論理を理解するのが苦手なので、
論理をバイパスして直観で納得するために
「訓詁学」に走っているようですが
・・・それでは大学１年の壁は乗り越えられない
もしそんなことが可能であったならば
数学で論理を用いる必要がなかったわけだから
まあ、これは「証明」ではありませんがね（笑）
後期高齢👴さんは
論理を理解するのが苦手なので、
論理をバイパスして直観で納得するために
「訓詁学」に走っているようですが
・・・それでは大学１年の壁は乗り越えられない
もしそんなことが可能であったならば
数学で論理を用いる必要がなかったわけだから
まあ、これは「証明」ではありませんがね（笑）
469１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 17:55:55.37ID:ww/o4tbP470１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 18:23:46.80ID:fXfi8CWR 例によってAIに
「ε-Nもε-δも、終域から定義域を制限する逆転があるけど、これって本質的？」
って尋ねたら
「いかにも 位相の極意は反変性と心得よ」（意訳）
と返してきた（笑）
「ε-Nもε-δも、終域から定義域を制限する逆転があるけど、これって本質的？」
って尋ねたら
「いかにも 位相の極意は反変性と心得よ」（意訳）
と返してきた（笑）
471１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 18:29:06.31ID:fXfi8CWR >>452
＞ダニエル・カーネマンの言う
＞「速い思考と遅い思考」。
＞速い思考が直感。
＞これは人類が進化の過程で身に着けたもので
＞生死に関わる場面では、正確さよりも
＞取り合えず速く「答えを出す」ことが必要だったから。
＞遅い思考が論理。
＞学問というのは、おしなべて「遅い思考」に属するものと思う。
学問でやってることって
結局「速い思考」で思いついたことを「遅い思考」で検証することだよな
その中で１００００の「速い思考」のうち９９９９は死ぬ（笑）
いい死に方をすると「反例」として名を残せるが
大抵はクソな死に方として物笑いの種になる（笑）
＞ダニエル・カーネマンの言う
＞「速い思考と遅い思考」。
＞速い思考が直感。
＞これは人類が進化の過程で身に着けたもので
＞生死に関わる場面では、正確さよりも
＞取り合えず速く「答えを出す」ことが必要だったから。
＞遅い思考が論理。
＞学問というのは、おしなべて「遅い思考」に属するものと思う。
学問でやってることって
結局「速い思考」で思いついたことを「遅い思考」で検証することだよな
その中で１００００の「速い思考」のうち９９９９は死ぬ（笑）
いい死に方をすると「反例」として名を残せるが
大抵はクソな死に方として物笑いの種になる（笑）
472１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 18:53:29.59ID:WVzSK23w >>471
>＞速い思考が直感。
>＞これは人類が進化の過程で身に着けたもので
>＞生死に関わる場面では、正確さよりも
>＞取り合えず速く「答えを出す」ことが必要だったから。
同意す
おれも そう思う
そして あなたが >>470で
”例によってAIに
「ε-Nもε-δも、終域から定義域を制限する逆転があるけど、これって本質的？」
って尋ねたら
「いかにも 位相の極意は反変性と心得よ」（意訳）
と返してきた（笑）”
とあるように
これから（2026年以降）は、数学の勉強法も変っていくような気がする
つまり 以前 20世紀前半は 「数学は厳密の学問」だった
それは いまも変っていない
変ったのは ”厳密”の部分で AIサポートが入ってきたことだな
あかたも 数学で 円周率πの計算を シャンクス氏が700桁計算した 20年かけた時代の19世紀があって
20世紀後半からは コンピューター数値計算が可能になって（最初は大型コンピュータ）
700桁など一瞬だろう
いまどきなら 個人のPCでできるでしょう
同様に ”厳密”の部分において 流行のLean（下記）がある
で、Leanは 今後どんどんAI化されるだろう
つまりは、20世紀に数値計算で起きたことが 数学の”厳密”の部分で起きるだろう
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/Lean_(%E8%A8%BC%E6%98%8E%E3%82%A2%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%88)
Lean は、プログラミング言語の一つである。「衛生的でありながら非常に強力なメタプログラミングフレームワークを備えた純粋関数型プログラミング言語」であり、同時に「Calculus of Inductive Constructions (CIC) と呼ばれる依存型の一種に基づく定理証明支援系」でもあるという２つの顔を持つ。この、汎用プログラミング言語でありながら定理証明支援系でもあるという点は Lean の大きな特徴である。
https://en.wikipedia.org/wiki/Lean_(proof_assistant)
Lean (proof assistant)
In 2025, ACM SIGPLAN Programming Languages Software Award was awarded to Gabriel Ebner, Soonho Kong, Leo de Moura and Sebastian Ullrich for Lean, cited for its "significant impact on mathematics, hardware and software verification, and AI".[7]
Artificial intelligence
In April 2025, DeepSeek introduced DeepSeek-Prover-V2, an AI model designed for theorem proving in Lean 4, built on top of DeepSeek-V3.[32]
>＞速い思考が直感。
>＞これは人類が進化の過程で身に着けたもので
>＞生死に関わる場面では、正確さよりも
>＞取り合えず速く「答えを出す」ことが必要だったから。
同意す
おれも そう思う
そして あなたが >>470で
”例によってAIに
「ε-Nもε-δも、終域から定義域を制限する逆転があるけど、これって本質的？」
って尋ねたら
「いかにも 位相の極意は反変性と心得よ」（意訳）
と返してきた（笑）”
とあるように
これから（2026年以降）は、数学の勉強法も変っていくような気がする
つまり 以前 20世紀前半は 「数学は厳密の学問」だった
それは いまも変っていない
変ったのは ”厳密”の部分で AIサポートが入ってきたことだな
あかたも 数学で 円周率πの計算を シャンクス氏が700桁計算した 20年かけた時代の19世紀があって
20世紀後半からは コンピューター数値計算が可能になって（最初は大型コンピュータ）
700桁など一瞬だろう
いまどきなら 個人のPCでできるでしょう
同様に ”厳密”の部分において 流行のLean（下記）がある
で、Leanは 今後どんどんAI化されるだろう
つまりは、20世紀に数値計算で起きたことが 数学の”厳密”の部分で起きるだろう
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/Lean_(%E8%A8%BC%E6%98%8E%E3%82%A2%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%88)
Lean は、プログラミング言語の一つである。「衛生的でありながら非常に強力なメタプログラミングフレームワークを備えた純粋関数型プログラミング言語」であり、同時に「Calculus of Inductive Constructions (CIC) と呼ばれる依存型の一種に基づく定理証明支援系」でもあるという２つの顔を持つ。この、汎用プログラミング言語でありながら定理証明支援系でもあるという点は Lean の大きな特徴である。
https://en.wikipedia.org/wiki/Lean_(proof_assistant)
Lean (proof assistant)
In 2025, ACM SIGPLAN Programming Languages Software Award was awarded to Gabriel Ebner, Soonho Kong, Leo de Moura and Sebastian Ullrich for Lean, cited for its "significant impact on mathematics, hardware and software verification, and AI".[7]
Artificial intelligence
In April 2025, DeepSeek introduced DeepSeek-Prover-V2, an AI model designed for theorem proving in Lean 4, built on top of DeepSeek-V3.[32]
473１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 18:56:00.79ID:WVzSK23w そういう時代において
人間の役割は なんだ？ ってことよ （＾＾
人間の役割は なんだ？ ってことよ （＾＾
474１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 19:21:21.11ID:fXfi8CWR >>472
＞おれも そう思う
後期高齢👴さんの「おれ」はちょっとイタイタしい（笑）
＞以前は 「数学は厳密の学問」だった
＞それは いまも変っていない
＞変ったのは ”厳密”の部分で
＞AIサポートが入ってきたことだな
＞ ”厳密”の部分において 流行のLeanは 今後どんどんAI化されるだろう
＞20世紀に数値計算で起きたことが 数学の”厳密”の部分で起きるだろう
でも
計算ができない人が算数をうまくできないように
推論ができない人が数学をうまく使えることはないよ
理解そのものを機械に肩代わりすることはできないから
っていうかそもそもそんなことまで機械に肩代わりする人は
数学にも算数にも興味ないからサルになったほうがいいよ
マジで
＞おれも そう思う
後期高齢👴さんの「おれ」はちょっとイタイタしい（笑）
＞以前は 「数学は厳密の学問」だった
＞それは いまも変っていない
＞変ったのは ”厳密”の部分で
＞AIサポートが入ってきたことだな
＞ ”厳密”の部分において 流行のLeanは 今後どんどんAI化されるだろう
＞20世紀に数値計算で起きたことが 数学の”厳密”の部分で起きるだろう
でも
計算ができない人が算数をうまくできないように
推論ができない人が数学をうまく使えることはないよ
理解そのものを機械に肩代わりすることはできないから
っていうかそもそもそんなことまで機械に肩代わりする人は
数学にも算数にも興味ないからサルになったほうがいいよ
マジで
475１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 19:21:42.08ID:WeS6QENU これなんかは直感で理解できていなかったですね
https://everyday-cream.hatenadiary.com/entry/2026/01/29/170417
https://everyday-cream.hatenadiary.com/entry/2026/01/29/170417
476１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 20:03:45.19ID:WVzSK23w477１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 20:06:35.06ID:3Cu8YdDp478１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 20:12:11.28ID:LpLoPpDo 直感が全く役に立たず
論理で手探りするしかない問題の例をあげよう
長い直線の４個の直積に
複素構造が入るか
論理で手探りするしかない問題の例をあげよう
長い直線の４個の直積に
複素構造が入るか
479１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 20:35:24.89ID:WVzSK23w >>475
>これなんかは直感で理解できていなかったですね
>https://everyday-cream.hatenadiary.com/entry/2026/01/29/170417
ありがとう
その話は 箱入り無数目 スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/
で 過去10年ほど議論してきた中で 類似例として登場しています
で、その”絶え間なく注がれる、見返りのない愛”氏
2026-01-29 【数学】無限の帽子クイズと選択公理
これ いい （＾＾
上記より
(抜粋)
以下の議論によって、実際、無限帽子ゲームの必勝法は選択公理にある意味で本質的に依存していたことがわかります。 発想は、クイズの解となる戦略は Lebesgue 非可測集合を構成してしまう、というものです*5。
次の命題が示せます:
命題 無限帽子クイズの必勝戦略が存在すれば、Lebesgue 非可測集合が存在する。
さて、実は次のようなことが知られています:
メタ事実「ZFC + (弱)到達不能基数が存在する」が無矛盾ならば、「ZF + 従属選択公理 + すべての実数の集合はLebesgue可測」も無矛盾である。
このことと合わせて考えると、（十分強い論理のもと）ZF上では無限帽子クイズの解を証明できないことがわかりました。
参考文献として、C.S. Hardin, A.D. Taylor『An Introduction to Infinite Hat problems 』を挙げておきます。Lebesgue 非可測集合ができてしまうことの証明においては、
という集合に注目することが重要だったわけですが、これは当該文献からもってきました。 この文献においては非可測集合を構成するのではなく、Baire の性質に訴えることによって「ZFC + (弱)到達不能基数が存在する」ことが無矛盾であるという仮定を弱めて、議論しています。
(引用終り)
さて
特に 良いと思うのは 記事冒頭
”Q. さて、たかだか有限人の人間を除く、すべての人間たちが予想を的中させることのできるような戦略はあるでしょうか。
以上のゲームを「無限帽子クイズ」と呼ぶことにします”
です
つまり
１）可算無限 vs たかだか有限 の話で
２）”命題 無限帽子クイズの必勝戦略が存在すれば、Lebesgue 非可測集合が存在する”
すなわち、必勝戦略は Lebesgue 非可測集合を 本質的に使っているということ
一方、「箱入り無数目」は 本質的に 可測を前提とした 確率 99/100 を導いているのです
これは 矛盾！■ （非可測集合を 本質的に使って 可測を前提とした 確率 99/100 を導いた）
>これなんかは直感で理解できていなかったですね
>https://everyday-cream.hatenadiary.com/entry/2026/01/29/170417
ありがとう
その話は 箱入り無数目 スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/
で 過去10年ほど議論してきた中で 類似例として登場しています
で、その”絶え間なく注がれる、見返りのない愛”氏
2026-01-29 【数学】無限の帽子クイズと選択公理
これ いい （＾＾
上記より
(抜粋)
以下の議論によって、実際、無限帽子ゲームの必勝法は選択公理にある意味で本質的に依存していたことがわかります。 発想は、クイズの解となる戦略は Lebesgue 非可測集合を構成してしまう、というものです*5。
次の命題が示せます:
命題 無限帽子クイズの必勝戦略が存在すれば、Lebesgue 非可測集合が存在する。
さて、実は次のようなことが知られています:
メタ事実「ZFC + (弱)到達不能基数が存在する」が無矛盾ならば、「ZF + 従属選択公理 + すべての実数の集合はLebesgue可測」も無矛盾である。
このことと合わせて考えると、（十分強い論理のもと）ZF上では無限帽子クイズの解を証明できないことがわかりました。
参考文献として、C.S. Hardin, A.D. Taylor『An Introduction to Infinite Hat problems 』を挙げておきます。Lebesgue 非可測集合ができてしまうことの証明においては、
という集合に注目することが重要だったわけですが、これは当該文献からもってきました。 この文献においては非可測集合を構成するのではなく、Baire の性質に訴えることによって「ZFC + (弱)到達不能基数が存在する」ことが無矛盾であるという仮定を弱めて、議論しています。
(引用終り)
さて
特に 良いと思うのは 記事冒頭
”Q. さて、たかだか有限人の人間を除く、すべての人間たちが予想を的中させることのできるような戦略はあるでしょうか。
以上のゲームを「無限帽子クイズ」と呼ぶことにします”
です
つまり
１）可算無限 vs たかだか有限 の話で
２）”命題 無限帽子クイズの必勝戦略が存在すれば、Lebesgue 非可測集合が存在する”
すなわち、必勝戦略は Lebesgue 非可測集合を 本質的に使っているということ
一方、「箱入り無数目」は 本質的に 可測を前提とした 確率 99/100 を導いているのです
これは 矛盾！■ （非可測集合を 本質的に使って 可測を前提とした 確率 99/100 を導いた）
480１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 20:39:33.37ID:fXfi8CWR 後期高齢👴さんは、なんとかピクチャーとかいってるけど
結局、AIを論理電卓にしたいだけ
それが大学数学オチコボレの夢なんですかねぇ・・・
結局、AIを論理電卓にしたいだけ
それが大学数学オチコボレの夢なんですかねぇ・・・
481１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 20:46:12.19ID:fXfi8CWR ＞「ZFC + (弱)到達不能基数が存在する」が無矛盾ならば、
＞「ZF + 従属選択公理 + すべての実数の集合はLebesgue可測」も無矛盾である。
これはその通りですが
「ZFC + (弱)到達不能基数が存在する」では、選択公理は真ですが
「ZF + 従属選択公理 + すべての実数の集合はLebesgue可測」では、選択公理は偽
（従属選択公理から選択公理は証明できないし、”すべての実数の集合はLebesgue可測”から選択公理を否定できる）
反論の余地はないので、感情的に反論する自爆行為はやめましょう（笑）
＞「ZF + 従属選択公理 + すべての実数の集合はLebesgue可測」も無矛盾である。
これはその通りですが
「ZFC + (弱)到達不能基数が存在する」では、選択公理は真ですが
「ZF + 従属選択公理 + すべての実数の集合はLebesgue可測」では、選択公理は偽
（従属選択公理から選択公理は証明できないし、”すべての実数の集合はLebesgue可測”から選択公理を否定できる）
反論の余地はないので、感情的に反論する自爆行為はやめましょう（笑）
482１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 20:48:31.33ID:gFTklxAx 極限の定義って結局an→∞(n→∞)が本質だよね
（無限の彼方で）無限に大きくなる＝無限大に近づくとはどういうことかを考えて
あとはそのバリエーション
（無限の彼方で）無限に大きくなる＝無限大に近づくとはどういうことかを考えて
あとはそのバリエーション
483１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 20:50:04.42ID:WVzSK23w >>478
>直感が全く役に立たず
>論理で手探りするしかない問題の例をあげよう
>長い直線の４個の直積に
>複素構造が入るか
ID:LpLoPpDo は、御大か
巡回ありがとうございます
まあ
そういう 問題 多分 AIは 自力では 案出できないであろう 問題
それは まだ 人間数学者の領分でしょうね
ただ、人が料理をして AIに喰わせることは
将来できるかもですね
(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1764469212/73-80
「名誉教授」のスレ 3
13:10〜14:00 大沢 健夫（名古屋）A short history of long C^n
(参考)
https://arxiv.org/pdf/2104.12413
＜本文＞
P1
Genesis of these Short C^k’s lies in the union problem: Is an increasing union of Stein manifolds always Stein? In [6], the first author settled this question by showing that in dimension three onwards, there exist increasing sequences of balls whose final unions are not Stein (also see [17]).
References
[6] Fornæss, J. E.: An increasing sequence of Stein manifolds whose limit is not Stein, Math. Ann. 223 (1976), 275–277.
[17] Wold, E. F.: A long C2 which is not Stein, Ark. Mat. 48 (2010), no. 1, 207– 210.
>直感が全く役に立たず
>論理で手探りするしかない問題の例をあげよう
>長い直線の４個の直積に
>複素構造が入るか
ID:LpLoPpDo は、御大か
巡回ありがとうございます
まあ
そういう 問題 多分 AIは 自力では 案出できないであろう 問題
それは まだ 人間数学者の領分でしょうね
ただ、人が料理をして AIに喰わせることは
将来できるかもですね
(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1764469212/73-80
「名誉教授」のスレ 3
13:10〜14:00 大沢 健夫（名古屋）A short history of long C^n
(参考)
https://arxiv.org/pdf/2104.12413
＜本文＞
P1
Genesis of these Short C^k’s lies in the union problem: Is an increasing union of Stein manifolds always Stein? In [6], the first author settled this question by showing that in dimension three onwards, there exist increasing sequences of balls whose final unions are not Stein (also see [17]).
References
[6] Fornæss, J. E.: An increasing sequence of Stein manifolds whose limit is not Stein, Math. Ann. 223 (1976), 275–277.
[17] Wold, E. F.: A long C2 which is not Stein, Ark. Mat. 48 (2010), no. 1, 207– 210.
484１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 21:03:46.03ID:gFTklxAx485１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 21:59:55.56ID:LpLoPpDo 長い直線とはlong line
または
Aleksandroff lineのこと
または
Aleksandroff lineのこと
486１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 22:00:53.65ID:LpLoPpDo Alexandroff
487１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 22:02:32.71ID:LpLoPpDo >長い直線の4個の直積とはR^4のこと？
直線の4個の直積とはR^4のこと
直線の4個の直積とはR^4のこと
488１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 22:05:03.64ID:WVzSK23w >>484
>長い直線の4個の直積とはR^4のこと？
>C^2だから違うのだろうけど
サッパリ サッパリです（＾＾
>>482
>極限の定義って結局an→∞(n→∞)が本質だよね
>（無限の彼方で）無限に大きくなる＝無限大に近づくとはどういうことかを考えて
>あとはそのバリエーション
ご苦労さまです
多分 ”列”かな
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%97_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
列 (数学)
列（sequence）とは、対象あるいは事象からなる集まりを「順序だてて並べる」ことで、例えば「Ａ，Ｂ，Ｃ」は３つのものからなる列である。
代数構造と数列空間
→詳細は「数列」、「数列空間」、および「函数空間」を参照
代数的な構造である演算を持つ最も基本的な列の種類は数列、つまり実数や複素数などからなる列である。数列に対しては、その項がもつ演算をうまく利用して、数列同士の間の「和」や、数列を「定数倍」することなどを考えることができるため、この種の列はあるベクトル空間の元として扱うこともできる。
さらに適当な環 R に値を持つ無限列は、適当な意味で積を定義することによって、自然数全体の成す集合 N の R-係数半群環 RN、両側無限列は Z 上の群環 RZ とかんがえられる。このような空間はしばしば函数空間とみなされる。
位相構造と極限
→詳細は「極限」を参照
→「数列」、「級数」、および「フィルター (数学)」も参照
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
フィルター (filter) とは半順序集合の特別な部分集合のことである。実際には半順序集合として、特定の集合の冪集合に包含関係で順序を入れた物が考察されることが多い。フィルターが初めて用いられたのは一般位相幾何学の研究であったが、現在では順序理論や束の理論でも用いられている。順序理論的な意味でのフィルターの双対概念はイデアル（英語版）である。
類似の概念として1922年にエリアキム・H・ムーアと H. L. スミスによって導入されたネットの概念がある。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E5%90%91%E7%82%B9%E6%97%8F
有向点族（directed family of points）とは、点列を一般化した概念で、ムーア (Eliakim Hastings Moore) とスミス (H. L. Smith) により1922年に定義された[1]。有向点族はネット (net)、有向点列、 Moore-Smith 列などとも呼ばれる。
点列との違いは添え字にあり、点列が自然数という可算な全順序集合の元で添え字付けられるのに対し、有向点族はより一般的な順序集合である（可算または非可算な）有向集合の元で添え字付けられている。
有向点族の概念の利点として以下の２つがある：
点列にある「可算性」、「全順序性」という束縛がなくなる。
略す
なお、添え字集合を有向集合にした事は、位相空間上の各点の近傍系が有向集合である（詳細後述）事と相性がよく、これも点列概念の不十分さを解消する上で一役買っている
>長い直線の4個の直積とはR^4のこと？
>C^2だから違うのだろうけど
サッパリ サッパリです（＾＾
>>482
>極限の定義って結局an→∞(n→∞)が本質だよね
>（無限の彼方で）無限に大きくなる＝無限大に近づくとはどういうことかを考えて
>あとはそのバリエーション
ご苦労さまです
多分 ”列”かな
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%97_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
列 (数学)
列（sequence）とは、対象あるいは事象からなる集まりを「順序だてて並べる」ことで、例えば「Ａ，Ｂ，Ｃ」は３つのものからなる列である。
代数構造と数列空間
→詳細は「数列」、「数列空間」、および「函数空間」を参照
代数的な構造である演算を持つ最も基本的な列の種類は数列、つまり実数や複素数などからなる列である。数列に対しては、その項がもつ演算をうまく利用して、数列同士の間の「和」や、数列を「定数倍」することなどを考えることができるため、この種の列はあるベクトル空間の元として扱うこともできる。
さらに適当な環 R に値を持つ無限列は、適当な意味で積を定義することによって、自然数全体の成す集合 N の R-係数半群環 RN、両側無限列は Z 上の群環 RZ とかんがえられる。このような空間はしばしば函数空間とみなされる。
位相構造と極限
→詳細は「極限」を参照
→「数列」、「級数」、および「フィルター (数学)」も参照
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
フィルター (filter) とは半順序集合の特別な部分集合のことである。実際には半順序集合として、特定の集合の冪集合に包含関係で順序を入れた物が考察されることが多い。フィルターが初めて用いられたのは一般位相幾何学の研究であったが、現在では順序理論や束の理論でも用いられている。順序理論的な意味でのフィルターの双対概念はイデアル（英語版）である。
類似の概念として1922年にエリアキム・H・ムーアと H. L. スミスによって導入されたネットの概念がある。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E5%90%91%E7%82%B9%E6%97%8F
有向点族（directed family of points）とは、点列を一般化した概念で、ムーア (Eliakim Hastings Moore) とスミス (H. L. Smith) により1922年に定義された[1]。有向点族はネット (net)、有向点列、 Moore-Smith 列などとも呼ばれる。
点列との違いは添え字にあり、点列が自然数という可算な全順序集合の元で添え字付けられるのに対し、有向点族はより一般的な順序集合である（可算または非可算な）有向集合の元で添え字付けられている。
有向点族の概念の利点として以下の２つがある：
点列にある「可算性」、「全順序性」という束縛がなくなる。
略す
なお、添え字集合を有向集合にした事は、位相空間上の各点の近傍系が有向集合である（詳細後述）事と相性がよく、これも点列概念の不十分さを解消する上で一役買っている
489１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 22:26:42.97ID:WVzSK23w >>487
巡回ご苦労さまです
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%95%B7%E3%81%84%E7%9B%B4%E7%B7%9A
英: Alexandroff line）は、局所的には実数直線によく似ているが、大域的には「もっと長い」位相空間である。
長い直線は多様体の公理のうち、第二可算公理以外の全ての公理を満たす。（第二可算公理も満たす一次元多様体は R と S1 のみである[1]）。
定義
長い閉半直線 (closed long ray) L は、最小の非可算順序数 ω1と区間 [0, 1) との直積を台集合として、辞書式順序の誘導する順序位相をいれた位相空間として定義される。長い開半直線 (open long ray)は、L から最小元 (0,0) を除いて得られる。
長い直線 (long line) は、直観的には互いに逆方向にのびる二つの長い半直線を端でつなげてできる。より厳密には
略す
https://mathlandscape.com/long-line/
数学の景色
長い直線(アレキサンドロフ直線)の位相的性質
2026.01.03
集合と位相 用語・記号の定義大学教養
巡回ご苦労さまです
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%95%B7%E3%81%84%E7%9B%B4%E7%B7%9A
英: Alexandroff line）は、局所的には実数直線によく似ているが、大域的には「もっと長い」位相空間である。
長い直線は多様体の公理のうち、第二可算公理以外の全ての公理を満たす。（第二可算公理も満たす一次元多様体は R と S1 のみである[1]）。
定義
長い閉半直線 (closed long ray) L は、最小の非可算順序数 ω1と区間 [0, 1) との直積を台集合として、辞書式順序の誘導する順序位相をいれた位相空間として定義される。長い開半直線 (open long ray)は、L から最小元 (0,0) を除いて得られる。
長い直線 (long line) は、直観的には互いに逆方向にのびる二つの長い半直線を端でつなげてできる。より厳密には
略す
https://mathlandscape.com/long-line/
数学の景色
長い直線(アレキサンドロフ直線)の位相的性質
2026.01.03
集合と位相 用語・記号の定義大学教養
490１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 23:06:35.50ID:aS4cCSvr AIに訊いたら、長い直線(Alexandroff line)は局所的には直線なので、直積に複素構造
が入りそうだが、第2可算公理をみたさないから、全体としては無理だ、という回答。
が入りそうだが、第2可算公理をみたさないから、全体としては無理だ、という回答。
491１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 23:09:01.77ID:aS4cCSvr 先生がこの問題を出された意図は、おそらく以下の点にあるのではないでしょうか。
「実多様体であれば、第二可算でないもの（長直線など）がいくらでも作れる。
しかし、複素構造という強い制約を課した瞬間、空間のサイズが『可算』なもの
に強制的に制限されてしまうのはなぜか？」
この「複素構造が持つ剛性（Rigidity）」や、正則関数が持つ「一致の定理」の
ような強力な性質が、空間全体のトポロジー（第二可算性）を支配してしまう
不思議さを浮き彫りにするための問いだと推察されます。
だと。ホントけ？
「実多様体であれば、第二可算でないもの（長直線など）がいくらでも作れる。
しかし、複素構造という強い制約を課した瞬間、空間のサイズが『可算』なもの
に強制的に制限されてしまうのはなぜか？」
この「複素構造が持つ剛性（Rigidity）」や、正則関数が持つ「一致の定理」の
ような強力な性質が、空間全体のトポロジー（第二可算性）を支配してしまう
不思議さを浮き彫りにするための問いだと推察されます。
だと。ホントけ？
492１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 23:26:35.76ID:WVzSK23w >>453
>ガロアが試行錯誤の結果か、ヒューリスティックを用いたかは定かではないが
>A_5が単純群であるという事実を知っていたとしても、現代の我々が
>正確な証明をしなくてもよいということにはならない。
>そして、正確な証明をしようとすれば、それなりに面倒な部分はある。
したり顔で語るトンチンカン
１）有限単純群の分類証明は、普通の数学者（有限群論屋）は とても読めない
２）有限単純群の分類で いくつかの群は コンピュータで構成された（人の手におえない。４色や球充填ケプラーと同じよ）
３）ゆえに 群論ソフトがある。普通はそれ使うらしい。”A_5が単純群”？ は 群論ソフトの範囲内だ
”正確な証明をしなくてもよいということにはならない”は正しいが それを強調するならば おのれが 有限単純群の分類の証明を全部読んだのかを問え！ｗ
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
有限単純群の分類
この分類定理の証明は、主に1955年から2004年にわたり出版された、100以上の著者により数百の学術誌において書かれた、計1万5000ページ以上もの成果の集大成である。ダニエル・ゴーレンシュタイン (d.1992) とライアン（英語版）、ソロモン（英語版）らは、この証明を整理し見通しよく改訂した「第2世代の証明」の出版を開始している。[1] (有限単純群の分類問題のあらすじ解説 [2])
1983年にダニエル・ゴーレンシュタインは有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。 しかしこれは準薄群（英語版）の分類の証明についての錯誤があったため尚早であった。 欠けていた準薄のケースについての1221ページにも及ぶ証明がアシュバッハーとスミスにより出版された後に、 分類定理の証明の完成が Aschbacher (2004) によりアナウンスされた。
分類定理の概観
Gorenstein (1982, 1983) は2巻からなる証明の低階数（英語版）および奇数標数パートの要点を著し、 Michael Aschbacher, Richard Lyons, and Stephen D. Smith et al. (2011) は残る標数2のケースを補う第3巻を著した。 この証明は以下の幾つかの主要な部分へと分けることが出来る:
第2世代の分類
何故この証明はこんなにも長いのか？
ゴーレンシュタインは、なぜ分類の証明がコンパクトリー群の分類のように短くならないのかについて、幾つかの理由を議論している。
最も明らかな理由は、単純群の一覧が完全に複雑だからである：すなわち、26の散在型単純群についてのように、どんな証明にも多くの特別なケースを考慮に入れなくてはならない。そのため、ディンキン図形を用いたコンパクトリー群のパラメーター化に似た、有限単純群のスッキリとした規則的な説明を誰も発見できていない。
>ガロアが試行錯誤の結果か、ヒューリスティックを用いたかは定かではないが
>A_5が単純群であるという事実を知っていたとしても、現代の我々が
>正確な証明をしなくてもよいということにはならない。
>そして、正確な証明をしようとすれば、それなりに面倒な部分はある。
したり顔で語るトンチンカン
１）有限単純群の分類証明は、普通の数学者（有限群論屋）は とても読めない
２）有限単純群の分類で いくつかの群は コンピュータで構成された（人の手におえない。４色や球充填ケプラーと同じよ）
３）ゆえに 群論ソフトがある。普通はそれ使うらしい。”A_5が単純群”？ は 群論ソフトの範囲内だ
”正確な証明をしなくてもよいということにはならない”は正しいが それを強調するならば おのれが 有限単純群の分類の証明を全部読んだのかを問え！ｗ
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
有限単純群の分類
この分類定理の証明は、主に1955年から2004年にわたり出版された、100以上の著者により数百の学術誌において書かれた、計1万5000ページ以上もの成果の集大成である。ダニエル・ゴーレンシュタイン (d.1992) とライアン（英語版）、ソロモン（英語版）らは、この証明を整理し見通しよく改訂した「第2世代の証明」の出版を開始している。[1] (有限単純群の分類問題のあらすじ解説 [2])
1983年にダニエル・ゴーレンシュタインは有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。 しかしこれは準薄群（英語版）の分類の証明についての錯誤があったため尚早であった。 欠けていた準薄のケースについての1221ページにも及ぶ証明がアシュバッハーとスミスにより出版された後に、 分類定理の証明の完成が Aschbacher (2004) によりアナウンスされた。
分類定理の概観
Gorenstein (1982, 1983) は2巻からなる証明の低階数（英語版）および奇数標数パートの要点を著し、 Michael Aschbacher, Richard Lyons, and Stephen D. Smith et al. (2011) は残る標数2のケースを補う第3巻を著した。 この証明は以下の幾つかの主要な部分へと分けることが出来る:
第2世代の分類
何故この証明はこんなにも長いのか？
ゴーレンシュタインは、なぜ分類の証明がコンパクトリー群の分類のように短くならないのかについて、幾つかの理由を議論している。
最も明らかな理由は、単純群の一覧が完全に複雑だからである：すなわち、26の散在型単純群についてのように、どんな証明にも多くの特別なケースを考慮に入れなくてはならない。そのため、ディンキン図形を用いたコンパクトリー群のパラメーター化に似た、有限単純群のスッキリとした規則的な説明を誰も発見できていない。
493１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 23:28:16.38ID:gFTklxAx >>487
検索したけれど長い直線LはRを更に伸ばしてるから
>直線の4個の直積とはR^4のこと
じゃないでしょ
L^4を言うというのはL^2には複素構造が入るんですか？
でもそれならL^4=(L^2)^2でいいと思うのでなんか違うか
検索したけれど長い直線LはRを更に伸ばしてるから
>直線の4個の直積とはR^4のこと
じゃないでしょ
L^4を言うというのはL^2には複素構造が入るんですか？
でもそれならL^4=(L^2)^2でいいと思うのでなんか違うか
494１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 23:28:18.16ID:WVzSK23w495１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 23:33:26.18ID:WVzSK23w496１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 23:34:01.66ID:WVzSK23w だから それ AI壁打ちなんだよね
497１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 23:38:11.80ID:aS4cCSvr >>492
何とち狂ったこと言ってんの？
>A_5が単純群である
の証明の話だよ。
別に難しくはないが、一箇所だけ理解に努力を要する点がある。
群論の本だと半ページくらいか。
クラインの本を買って、「A_5が単純群であること」しか
学んでないなら、読んでないに等しいよ。
しかも、その理由が「正20面体群と同型」
では理由にもなってないし、頓珍漢だよ。
何とち狂ったこと言ってんの？
>A_5が単純群である
の証明の話だよ。
別に難しくはないが、一箇所だけ理解に努力を要する点がある。
群論の本だと半ページくらいか。
クラインの本を買って、「A_5が単純群であること」しか
学んでないなら、読んでないに等しいよ。
しかも、その理由が「正20面体群と同型」
では理由にもなってないし、頓珍漢だよ。
498１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 23:46:32.84ID:3Cu8YdDp 正12面体群でもストンと落ちるか。
499１３２人目の素数さん
2026/01/31(土) 23:58:32.62ID:aS4cCSvr 正12面体は双対で、幾何学的な対称性は同じね。
正20面体群と同型を生かして、幾何学的な情報から
A_5が単純群であることを証明する方法はあるらしい。
ま、群論の本では、大抵A_n(n≧5)の形で一般的に
証明するし、その場合は「幾何学的に考える」
とかはない。
正20面体群と同型を生かして、幾何学的な情報から
A_5が単純群であることを証明する方法はあるらしい。
ま、群論の本では、大抵A_n(n≧5)の形で一般的に
証明するし、その場合は「幾何学的に考える」
とかはない。
500１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 00:06:28.24ID:f4XIzu48 A_5が単純群である の証明は 矢ヶ部でも Coxでもあるよ
クラインの本は A5を 正12面体群という幾何と結びつけたんだ
”エルランゲンのおじさん” らしいじゃないかね
さて AI壁打ちは 下記だなｗ （＾＾
（ガロア本なら大概載っているよ。さらに 必要なら 不明部分を壁打ちしなさい）
（おっと ”1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると”は、ちょっとスベッているぞｗ 証明を述べるときの定型文の作法が いまいちかｗ）
(google検索)
交代群 A_5が単純群である ことの 証明は？
＜AI による概要＞
交代群 \(A_{5}\)（5次交代群）が単純群（非自明な正規部分群を持たない）であることの証明は、主に「\(A_{5}\) が長さ3の巡回置換で生成される」ことと「長さ3の巡回置換がすべて共役」であることを利用します。1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると、3-cycleを含むため \(A_{5}\) と一致することが示されます。
\(A_{5}\) が単純群であることの証明の骨子
1.定義の確認: 5次交代群 \(A_{5}\) は、1から5までの5つの数字の偶置換（長さ2の互換の偶数個の積）の集合であり、位数は \(\frac{5!}{2}=60\) です。
2.長さ3の巡回置換（3-cycle）の共役性: \(A_{5}\) において、すべての長さ3の巡回置換（例: (123)）は共役です。つまり、1つでも3-cycleを正規部分群 \(H\) が含んでいれば、\(H\) はすべての3-cycleを含みます。
3.3-cycleによる生成: \(A_{5}\) のすべての要素は、長さ3の巡回置換の積で表すことができます。
4.非自明な正規部分群Hの仮定: \(H\) を \(A_{5}\) の1以外の正規部分群とします。正規部分群は共役な要素をまとめて含むため、\(H\) が3-cycleを含めば \(H=A_{5}\) となります。
5.結論: 任意の非自明な正規部分群が3-cycleを持つことを証明することで、\(A_{5}\) が単純群であることを示します。
この事実は、「5次以上の方程式に解の公式が存在しない」ことを示す「可解群ではない」という証明において非常に重要です。
クラインの本は A5を 正12面体群という幾何と結びつけたんだ
”エルランゲンのおじさん” らしいじゃないかね
さて AI壁打ちは 下記だなｗ （＾＾
（ガロア本なら大概載っているよ。さらに 必要なら 不明部分を壁打ちしなさい）
（おっと ”1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると”は、ちょっとスベッているぞｗ 証明を述べるときの定型文の作法が いまいちかｗ）
(google検索)
交代群 A_5が単純群である ことの 証明は？
＜AI による概要＞
交代群 \(A_{5}\)（5次交代群）が単純群（非自明な正規部分群を持たない）であることの証明は、主に「\(A_{5}\) が長さ3の巡回置換で生成される」ことと「長さ3の巡回置換がすべて共役」であることを利用します。1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると、3-cycleを含むため \(A_{5}\) と一致することが示されます。
\(A_{5}\) が単純群であることの証明の骨子
1.定義の確認: 5次交代群 \(A_{5}\) は、1から5までの5つの数字の偶置換（長さ2の互換の偶数個の積）の集合であり、位数は \(\frac{5!}{2}=60\) です。
2.長さ3の巡回置換（3-cycle）の共役性: \(A_{5}\) において、すべての長さ3の巡回置換（例: (123)）は共役です。つまり、1つでも3-cycleを正規部分群 \(H\) が含んでいれば、\(H\) はすべての3-cycleを含みます。
3.3-cycleによる生成: \(A_{5}\) のすべての要素は、長さ3の巡回置換の積で表すことができます。
4.非自明な正規部分群Hの仮定: \(H\) を \(A_{5}\) の1以外の正規部分群とします。正規部分群は共役な要素をまとめて含むため、\(H\) が3-cycleを含めば \(H=A_{5}\) となります。
5.結論: 任意の非自明な正規部分群が3-cycleを持つことを証明することで、\(A_{5}\) が単純群であることを示します。
この事実は、「5次以上の方程式に解の公式が存在しない」ことを示す「可解群ではない」という証明において非常に重要です。
501１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 00:07:33.21ID:ZlzpfRm0 なんでセタが>>492で、「有限単純群の分類」という話になったのか謎。
まさか、そこまで数学に理解がないのか、単に話したかっただけなのか。
一般的に、数学において「かくかくしかじかの性質をみたすものは
以下に限られる」というタイプの定理は難しいことが多い。
「有限単純群の分類」の分類でも難しいのは、散在型の単純群が
「26個に限られる」と限定するのが最も難しいはず。
それに対して、「ある群が単純群である」というのは遥かに簡単。
セタはそんなことも分かってないっぽい。
ちなみに、有限群の定理の中の花形といえば
「奇数位数の群は可解群である」という、ファイト-トンプソンの定理。
これを証明するだけで、一冊の本になるような話。
まさか、そこまで数学に理解がないのか、単に話したかっただけなのか。
一般的に、数学において「かくかくしかじかの性質をみたすものは
以下に限られる」というタイプの定理は難しいことが多い。
「有限単純群の分類」の分類でも難しいのは、散在型の単純群が
「26個に限られる」と限定するのが最も難しいはず。
それに対して、「ある群が単純群である」というのは遥かに簡単。
セタはそんなことも分かってないっぽい。
ちなみに、有限群の定理の中の花形といえば
「奇数位数の群は可解群である」という、ファイト-トンプソンの定理。
これを証明するだけで、一冊の本になるような話。
502１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 00:13:20.03ID:ZlzpfRm0503１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 00:17:01.24ID:f4XIzu48 ホイヨ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0
エルランゲン・プログラム
エルランゲン・プログラム（独: Erlanger Programm、英: Erlangen program）とは、1872年フェリックス・クラインが23歳でエルランゲン大学の教授職に就く際、幾何学とは何か、どのように研究すべきものかを示した指針である。日本語ではエルランゲン(の)目録と表記される場合もある[1]。
クラインのエルランゲン・プログラムは、ソフス・リーのTheorie der Transformationsgruppen（変換群の理論、今日で言うリー群の理論）に基づいて[3]、こうした複数の幾何学を統一的な視点で扱うための綱領プログラムを提示する。今日の言葉で言えば、これは幾何学を等質空間とみなす、というものである[2]。（なお古くは等質空間の事をクライン空間（英: Klein space）と呼んだ[4]）。
クラインの意味での幾何学とはリー群Gと、Gが推移的に作用する多様体Xとの組
(G,X)の事である[2]。クラインはGの事をhauptgruppe[5][注 1]（chief group[5]）と呼び、ハスケルはこれをprincipal groupと訳した[2]。
クラインの幾何学では、
Gの作用に不変な性質を探る事が目的となる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0
エルランゲン・プログラム
エルランゲン・プログラム（独: Erlanger Programm、英: Erlangen program）とは、1872年フェリックス・クラインが23歳でエルランゲン大学の教授職に就く際、幾何学とは何か、どのように研究すべきものかを示した指針である。日本語ではエルランゲン(の)目録と表記される場合もある[1]。
クラインのエルランゲン・プログラムは、ソフス・リーのTheorie der Transformationsgruppen（変換群の理論、今日で言うリー群の理論）に基づいて[3]、こうした複数の幾何学を統一的な視点で扱うための綱領プログラムを提示する。今日の言葉で言えば、これは幾何学を等質空間とみなす、というものである[2]。（なお古くは等質空間の事をクライン空間（英: Klein space）と呼んだ[4]）。
クラインの意味での幾何学とはリー群Gと、Gが推移的に作用する多様体Xとの組
(G,X)の事である[2]。クラインはGの事をhauptgruppe[5][注 1]（chief group[5]）と呼び、ハスケルはこれをprincipal groupと訳した[2]。
クラインの幾何学では、
Gの作用に不変な性質を探る事が目的となる
504１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 00:18:56.45ID:f4XIzu48505１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 00:19:52.20ID:6MRfe/bW >>479
>一方、「箱入り無数目」は 本質的に 可測を前提とした 確率 99/100 を導いているのです
>これは 矛盾！■ （非可測集合を 本質的に使って 可測を前提とした 確率 99/100 を導いた）
その誤解は記事を勝手読みして標本空間を取り違えてることが原因なので国語からやり直した方が良い
>一方、「箱入り無数目」は 本質的に 可測を前提とした 確率 99/100 を導いているのです
>これは 矛盾！■ （非可測集合を 本質的に使って 可測を前提とした 確率 99/100 を導いた）
その誤解は記事を勝手読みして標本空間を取り違えてることが原因なので国語からやり直した方が良い
506１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 00:23:40.39ID:ZlzpfRm0507１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 00:26:02.38ID:f4XIzu48509１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 00:38:08.80ID:ZlzpfRm0 セタが見逃していること。
まず、散在型の単純群が「26個ある」という発見があった。
他の単純群は、交代群やリー型の群など、無限の系列をなしている。
有限群の研究者の間には、「これら以外にはなさそうだ」
という共通認識はあったらしい。
しかしその完全な証明は難しく、数千ページ（だったか）
に及んだ。しかし、自分で数学を考えるという発想が
根本的に欠けているセタには、そもそも「26個しかなさそうだ」
という理解はどのようにして得られたのだろう？
という驚きを持つことは永遠にない。挙句の果てに
「一時証明されたが不完全だった」とかいう「ゴシップ」
を元に数学者をこき下ろすネタにしたりする。
まず、散在型の単純群が「26個ある」という発見があった。
他の単純群は、交代群やリー型の群など、無限の系列をなしている。
有限群の研究者の間には、「これら以外にはなさそうだ」
という共通認識はあったらしい。
しかしその完全な証明は難しく、数千ページ（だったか）
に及んだ。しかし、自分で数学を考えるという発想が
根本的に欠けているセタには、そもそも「26個しかなさそうだ」
という理解はどのようにして得られたのだろう？
という驚きを持つことは永遠にない。挙句の果てに
「一時証明されたが不完全だった」とかいう「ゴシップ」
を元に数学者をこき下ろすネタにしたりする。
510１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 00:46:56.53ID:ZlzpfRm0 >>508
でしょうな。
でしょうな。
511１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 01:36:48.52ID:ZlzpfRm0512１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 01:43:34.95ID:ZlzpfRm0 ちなみに、「リーマン予想の証明可能性」について訊いたら
まぁ、ありふれた回答だった。
まぁ、ありふれた回答だった。
513１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 01:50:33.08ID:fTLKa44l >>509
いろんな人やAIがすべる。
いろんな人やAIがすべる。
514１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 06:49:21.33ID:KNQCZTqD 非可分な2次元複素多様体は存在する
515１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 07:49:35.27ID:KNQCZTqD 長いC²の一つがそうだが
そのうちの一つは(長いR)⁴と
微分同相であろう
そのうちの一つは(長いR)⁴と
微分同相であろう
516１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 07:52:17.46ID:XLfhCs0W >>482
>極限の定義って結局an→∞(n→∞)が本質だよね
肝心な一文字、間違ってる
誤 an→∞(n→∞)
正 an→a(n→∞)
>（無限の彼方で）無限に大きくなる＝無限大に近づく
>とはどういうことかを考えて
>あとはそのバリエーション
具体的には以下の通り
１．自然数全体Nに、それらの要素すべてより大きい元として∞を追加する
２．そして任意のn∈Nに対して、Nn＝{m|ｍ∈Ｎ＆m≧n｝を開集合とする
aのいかなるε近傍についても、
そこに含まれるanの添え字nを
すべて含むようなNnが存在すればいい
それがa_nの極限がaであることの定義
>>488
>多分 ”列”かな
後期高齢👴さん 相変わらず文章全く書けないかな
言葉だけ連想しても理解には全くつながらないよ
あとリンク先（有向点族）で最も重要な文章をコピペしてないね
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
定義（有向点族の収束）
位相空間 X 上の有向点族(xλ)λ∈Λが X 上の点 x に収束するとは、
x の任意の近傍U に対し、(xλ)λ∈Λ が U に”ほとんど含まれる事”をいう。
ここで (xλ)λ∈Λ が X の部分集合 Y にほとんど含まれる (eventually in) とは、
あるλ∈Λが存在し、γ ≥ λ を満たす全ての γ∈Λ に対し xγ が Y に含まれる事を言う。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ΛとしてNをとれば
数列xn(n∈N)が、集合Yにほとんど含まれる、とは
あるn∈Nが存在し、y≧n を満たす全ての y∈N に対し xy が Y に含まれる事を言う
まさに、前半で述べてること、そのままだね
理解とはこういうこと、キーワード検索だけで満足して
その先の思考を全部サボると、見事に落ちこぼれるよ
>極限の定義って結局an→∞(n→∞)が本質だよね
肝心な一文字、間違ってる
誤 an→∞(n→∞)
正 an→a(n→∞)
>（無限の彼方で）無限に大きくなる＝無限大に近づく
>とはどういうことかを考えて
>あとはそのバリエーション
具体的には以下の通り
１．自然数全体Nに、それらの要素すべてより大きい元として∞を追加する
２．そして任意のn∈Nに対して、Nn＝{m|ｍ∈Ｎ＆m≧n｝を開集合とする
aのいかなるε近傍についても、
そこに含まれるanの添え字nを
すべて含むようなNnが存在すればいい
それがa_nの極限がaであることの定義
>>488
>多分 ”列”かな
後期高齢👴さん 相変わらず文章全く書けないかな
言葉だけ連想しても理解には全くつながらないよ
あとリンク先（有向点族）で最も重要な文章をコピペしてないね
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
定義（有向点族の収束）
位相空間 X 上の有向点族(xλ)λ∈Λが X 上の点 x に収束するとは、
x の任意の近傍U に対し、(xλ)λ∈Λ が U に”ほとんど含まれる事”をいう。
ここで (xλ)λ∈Λ が X の部分集合 Y にほとんど含まれる (eventually in) とは、
あるλ∈Λが存在し、γ ≥ λ を満たす全ての γ∈Λ に対し xγ が Y に含まれる事を言う。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ΛとしてNをとれば
数列xn(n∈N)が、集合Yにほとんど含まれる、とは
あるn∈Nが存在し、y≧n を満たす全ての y∈N に対し xy が Y に含まれる事を言う
まさに、前半で述べてること、そのままだね
理解とはこういうこと、キーワード検索だけで満足して
その先の思考を全部サボると、見事に落ちこぼれるよ
517１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 08:04:42.47ID:f4XIzu48 >>509
君が見逃していること
１）”散在型の単純群が「26個ある」という発見があった”は、大間違い
２）”有限群の研究者の間には、「これら以外にはなさそうだ」
という共通認識はあったらしい”は、大間違い
３）”自分で数学を考えるという発想が
根本的に欠けている”は、君のこと
いまどきは、数学が膨大に広がって深化しすぎているから
検索やAI活用などしないと バカ晒すよ
さて
１）トンプソンが、奇数位数の有限群は、すべて可解群であることを証明し、(1970)フィールズ賞を受ける
２）そのトンプソンの証明を見たゴーレンシュタインが、有限単純群の分類のプログラムを提唱した
３）そのプログラムを推進する過程で、多くの散在型の単純群が発見された
その過程で 日本人数学者の鈴木、原田らが活躍した
４）下記に”1983年にダニエル・ゴーレンシュタインは有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。 しかしこれは準薄群（英語版）の分類の証明についての錯誤があったため尚早であった”
とあるが 実は裏話がある（初期のwikipediaには記載があった）
”準薄群は私がやります”と手を挙げた数学者が ゴーレンシュタイン配下にいたそうな
で、その人が「できました」と ゴーレンシュタインに提出した。その数百ページの論文を見て、ゴーレンシュタインは「分類完成」と発表した
５）ところが、この数百ページの論文の中程に ポッカリ空白があったとさｗ
それは 普通の証明のギャップではなく 明らかに意図的な空白だった（私見だが その人は精神を病んでしまったのだろう）
６）そこで、アシュバッハーが立ち上がった。いや もともと立っていｗ
アシュバッハーは トンプソンと並び立つ 分類のプログラムの巨人です
７）そして 苦心惨憺 20年かけて 準薄群の部分の穴を埋めた。20年かかったのです （＾＾
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
有限単純群の分類
ダニエル・ゴーレンシュタイン (d.1992) とライアン（英語版）、ソロモン（英語版）らは、この証明を整理し見通しよく改訂した「第2世代の証明」の出版を開始している。[1] (有限単純群の分類問題のあらすじ解説 [2])
1983年にダニエル・ゴーレンシュタインは有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。 しかしこれは準薄群（英語版）の分類の証明についての錯誤があったため尚早であった。 欠けていた準薄のケースについての1221ページにも及ぶ証明がアシュバッハーとスミスにより出版された後に、 分類定理の証明の完成が Aschbacher (2004) によりアナウンスされた。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BBG%E3%83%BB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%83%97%E3%82%BD%E3%83%B3
ジョン・グリッグス・トンプソン（John Griggs Thompson, 1932年10月13日 - ）は、アメリカの数学者。フロリダ大学名誉教授。有限群論の研究で名がある。
奇数位数の有限群は、すべて可解群であることを証明し、フィールズ賞を受ける。たった一人で極小単純群の分類を完成させた傑物である。
受賞歴
1965年 コール賞
1970年 フィールズ賞
君が見逃していること
１）”散在型の単純群が「26個ある」という発見があった”は、大間違い
２）”有限群の研究者の間には、「これら以外にはなさそうだ」
という共通認識はあったらしい”は、大間違い
３）”自分で数学を考えるという発想が
根本的に欠けている”は、君のこと
いまどきは、数学が膨大に広がって深化しすぎているから
検索やAI活用などしないと バカ晒すよ
さて
１）トンプソンが、奇数位数の有限群は、すべて可解群であることを証明し、(1970)フィールズ賞を受ける
２）そのトンプソンの証明を見たゴーレンシュタインが、有限単純群の分類のプログラムを提唱した
３）そのプログラムを推進する過程で、多くの散在型の単純群が発見された
その過程で 日本人数学者の鈴木、原田らが活躍した
４）下記に”1983年にダニエル・ゴーレンシュタインは有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。 しかしこれは準薄群（英語版）の分類の証明についての錯誤があったため尚早であった”
とあるが 実は裏話がある（初期のwikipediaには記載があった）
”準薄群は私がやります”と手を挙げた数学者が ゴーレンシュタイン配下にいたそうな
で、その人が「できました」と ゴーレンシュタインに提出した。その数百ページの論文を見て、ゴーレンシュタインは「分類完成」と発表した
５）ところが、この数百ページの論文の中程に ポッカリ空白があったとさｗ
それは 普通の証明のギャップではなく 明らかに意図的な空白だった（私見だが その人は精神を病んでしまったのだろう）
６）そこで、アシュバッハーが立ち上がった。いや もともと立っていｗ
アシュバッハーは トンプソンと並び立つ 分類のプログラムの巨人です
７）そして 苦心惨憺 20年かけて 準薄群の部分の穴を埋めた。20年かかったのです （＾＾
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
有限単純群の分類
ダニエル・ゴーレンシュタイン (d.1992) とライアン（英語版）、ソロモン（英語版）らは、この証明を整理し見通しよく改訂した「第2世代の証明」の出版を開始している。[1] (有限単純群の分類問題のあらすじ解説 [2])
1983年にダニエル・ゴーレンシュタインは有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。 しかしこれは準薄群（英語版）の分類の証明についての錯誤があったため尚早であった。 欠けていた準薄のケースについての1221ページにも及ぶ証明がアシュバッハーとスミスにより出版された後に、 分類定理の証明の完成が Aschbacher (2004) によりアナウンスされた。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BBG%E3%83%BB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%83%97%E3%82%BD%E3%83%B3
ジョン・グリッグス・トンプソン（John Griggs Thompson, 1932年10月13日 - ）は、アメリカの数学者。フロリダ大学名誉教授。有限群論の研究で名がある。
奇数位数の有限群は、すべて可解群であることを証明し、フィールズ賞を受ける。たった一人で極小単純群の分類を完成させた傑物である。
受賞歴
1965年 コール賞
1970年 フィールズ賞
518１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 08:05:47.32ID:XLfhCs0W >>492
（A_5が単純群である件について）
>>正確な証明をしなくてもよい、ということにはならない。
>>正確な証明をしようとすれば、それなりに面倒な部分はある。
>したり顔で語るトンチンカン
という後期高齢👴さんの以下の文章がまさにトンチンカン
>有限単純群の分類証明は、普通の数学者（有限群論屋以外）は とても読めない
>有限単純群の分類で いくつかの群は コンピュータで構成された（人の手におえない。）
>ゆえに 群論ソフトがある。普通はそれ使うらしい。
>”A_5が単純群”？ は 群論ソフトの範囲内だ
なんで、A‗5が単純群であることを証明するのに
有限単純群すべてを分類する必要があるのかわけわからん
（もちろん、そんなことをする必要は全くない）
A_5はモンスター群でもなんでもない（たかだか位数60）
したがって、別に群論ソフトなんかつかわなくてもいい
>”正確な証明をしなくてもよいということにはならない”は正しいが
>それを強調するならば おのれが 有限単純群の分類の証明を全部読んだのかを問え！
思うに後期高齢👴さんはA_5が単純群であることの証明が理解できず
それを残念に思っているので”正確な証明”という言葉にカチンときて
（だいたいなんでもかんでもカチンカチンきてるみたいだけど）
単純群であることの判定の話を有限単純群の分類に飛躍させて発狂してるみたい
後期高齢👴さんは論理思考が苦手かつ嫌いみたいなので
大学以降の数学には全く向いてない
好きな囲碁将棋を楽しんでくださいな
今を楽しむことが大事ですよ
別に数学なんて理解しなくても死にはしないし
（A_5が単純群である件について）
>>正確な証明をしなくてもよい、ということにはならない。
>>正確な証明をしようとすれば、それなりに面倒な部分はある。
>したり顔で語るトンチンカン
という後期高齢👴さんの以下の文章がまさにトンチンカン
>有限単純群の分類証明は、普通の数学者（有限群論屋以外）は とても読めない
>有限単純群の分類で いくつかの群は コンピュータで構成された（人の手におえない。）
>ゆえに 群論ソフトがある。普通はそれ使うらしい。
>”A_5が単純群”？ は 群論ソフトの範囲内だ
なんで、A‗5が単純群であることを証明するのに
有限単純群すべてを分類する必要があるのかわけわからん
（もちろん、そんなことをする必要は全くない）
A_5はモンスター群でもなんでもない（たかだか位数60）
したがって、別に群論ソフトなんかつかわなくてもいい
>”正確な証明をしなくてもよいということにはならない”は正しいが
>それを強調するならば おのれが 有限単純群の分類の証明を全部読んだのかを問え！
思うに後期高齢👴さんはA_5が単純群であることの証明が理解できず
それを残念に思っているので”正確な証明”という言葉にカチンときて
（だいたいなんでもかんでもカチンカチンきてるみたいだけど）
単純群であることの判定の話を有限単純群の分類に飛躍させて発狂してるみたい
後期高齢👴さんは論理思考が苦手かつ嫌いみたいなので
大学以降の数学には全く向いてない
好きな囲碁将棋を楽しんでくださいな
今を楽しむことが大事ですよ
別に数学なんて理解しなくても死にはしないし
519１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 08:15:09.81ID:XLfhCs0W >>497
>クラインの本を買って、
>「A_5が単純群であること」しか学んでないなら、
>読んでないに等しいよ。
まあ、微分積分学のε-Nやε-δ、線形代数学の線形独立、が分かってない人が
クラインの本を読んでも、全くといっていいほど理解できないでしょうな
>しかも、その理由が「正20面体群と同型」では理由にもなってないし、頓珍漢だよ。
お説ごもっとも
>>500
>A_5が単純群 の証明は 矢ヶ部でも Coxでもあるよ
でも、後期高齢👴さん、理解してないんでしょ
１０代なら仕方ないけど、
２０代、３０代、４０代、５０代、６０代でも理解できないまま
とうとう７０代まで来ちゃったんでしょ？
なんで、理解できないのか考えたことある？
>クラインの本は
>A5を 正12面体群という幾何と結びつけたんだ
>”エルランゲンのおじさん” らしいじゃないかね
単純群かどうか、とは全然無関係だってことは理解できてる？
それわかんないようだと、数学は理解できないから、諦めたほうがいいよ
>クラインの本を買って、
>「A_5が単純群であること」しか学んでないなら、
>読んでないに等しいよ。
まあ、微分積分学のε-Nやε-δ、線形代数学の線形独立、が分かってない人が
クラインの本を読んでも、全くといっていいほど理解できないでしょうな
>しかも、その理由が「正20面体群と同型」では理由にもなってないし、頓珍漢だよ。
お説ごもっとも
>>500
>A_5が単純群 の証明は 矢ヶ部でも Coxでもあるよ
でも、後期高齢👴さん、理解してないんでしょ
１０代なら仕方ないけど、
２０代、３０代、４０代、５０代、６０代でも理解できないまま
とうとう７０代まで来ちゃったんでしょ？
なんで、理解できないのか考えたことある？
>クラインの本は
>A5を 正12面体群という幾何と結びつけたんだ
>”エルランゲンのおじさん” らしいじゃないかね
単純群かどうか、とは全然無関係だってことは理解できてる？
それわかんないようだと、数学は理解できないから、諦めたほうがいいよ
520１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 08:24:58.65ID:XLfhCs0W >>500
＞さて AI壁打ち
＞（ガロア本なら大概載っているよ。）
でも、後期高齢👴さん、理解してないんでしょ
＞（おっと ”1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると”は、ちょっとスベッているぞ
＞証明を述べるときの定型文の作法が いまいちか）
全然滑ってませんけど 後期高齢👴さんこそ滑ってますね
定型文の作法？ なにトンチンカンなこといってるんですか
で、以下の証明の５ステップのうち
後期高齢👴さんが理解できないのはどこですか？
２の「長さ３の巡回置換の共役性」ですか？
３の「長さ３の巡回置換の積で表せる」ですか？
＞交代群 A_5が単純群である ことの 証明は？
＞＜AI による概要＞
＞交代群 \(A_{5}\)（5次交代群）が単純群（非自明な正規部分群を持たない）であることの証明は、
＞主に「\(A_{5}\) が長さ3の巡回置換で生成される」ことと「長さ3の巡回置換がすべて共役」であることを利用します。
＞1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると、3-cycleを含むため \(A_{5}\) と一致することが示されます。
＞\(A_{5}\) が単純群であることの証明の骨子
＞1.定義の確認
＞5次交代群 \(A_{5}\) は、1から5までの5つの数字の偶置換（長さ2の互換の偶数個の積）の集合であり、位数は \(\frac{5!}{2}=60\) です。
＞2.長さ3の巡回置換（3-cycle）の共役性
＞ \(A_{5}\) において、すべての長さ3の巡回置換（例: (123)）は共役です。
＞つまり、1つでも3-cycleを正規部分群 \(H\) が含んでいれば、\(H\) はすべての3-cycleを含みます。
＞3.3-cycleによる生成
＞\(A_{5}\) のすべての要素は、長さ3の巡回置換の積で表すことができます。
＞4.非自明な正規部分群Hの仮定
＞\(H\) を \(A_{5}\) の1以外の正規部分群とします。
＞正規部分群は共役な要素をまとめて含むため、\(H\) が3-cycleを含めば \(H=A_{5}\) となります。
＞5.結論
＞任意の非自明な正規部分群が3-cycleを持つことを証明することで、
＞\(A_{5}\) が単純群であることを示します。
＞この事実は、「5次以上の方程式に解の公式が存在しない」ことを示す
＞「可解群ではない」という証明において非常に重要です。
＞さて AI壁打ち
＞（ガロア本なら大概載っているよ。）
でも、後期高齢👴さん、理解してないんでしょ
＞（おっと ”1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると”は、ちょっとスベッているぞ
＞証明を述べるときの定型文の作法が いまいちか）
全然滑ってませんけど 後期高齢👴さんこそ滑ってますね
定型文の作法？ なにトンチンカンなこといってるんですか
で、以下の証明の５ステップのうち
後期高齢👴さんが理解できないのはどこですか？
２の「長さ３の巡回置換の共役性」ですか？
３の「長さ３の巡回置換の積で表せる」ですか？
＞交代群 A_5が単純群である ことの 証明は？
＞＜AI による概要＞
＞交代群 \(A_{5}\)（5次交代群）が単純群（非自明な正規部分群を持たない）であることの証明は、
＞主に「\(A_{5}\) が長さ3の巡回置換で生成される」ことと「長さ3の巡回置換がすべて共役」であることを利用します。
＞1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると、3-cycleを含むため \(A_{5}\) と一致することが示されます。
＞\(A_{5}\) が単純群であることの証明の骨子
＞1.定義の確認
＞5次交代群 \(A_{5}\) は、1から5までの5つの数字の偶置換（長さ2の互換の偶数個の積）の集合であり、位数は \(\frac{5!}{2}=60\) です。
＞2.長さ3の巡回置換（3-cycle）の共役性
＞ \(A_{5}\) において、すべての長さ3の巡回置換（例: (123)）は共役です。
＞つまり、1つでも3-cycleを正規部分群 \(H\) が含んでいれば、\(H\) はすべての3-cycleを含みます。
＞3.3-cycleによる生成
＞\(A_{5}\) のすべての要素は、長さ3の巡回置換の積で表すことができます。
＞4.非自明な正規部分群Hの仮定
＞\(H\) を \(A_{5}\) の1以外の正規部分群とします。
＞正規部分群は共役な要素をまとめて含むため、\(H\) が3-cycleを含めば \(H=A_{5}\) となります。
＞5.結論
＞任意の非自明な正規部分群が3-cycleを持つことを証明することで、
＞\(A_{5}\) が単純群であることを示します。
＞この事実は、「5次以上の方程式に解の公式が存在しない」ことを示す
＞「可解群ではない」という証明において非常に重要です。
521１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 08:39:39.13ID:XLfhCs0W >>501
＞なんで>>492で、「有限単純群の分類」という話になったのか謎。
＞まさか、そこまで数学に理解がないのか、単に話したかっただけなのか。
単純に後期高齢👴さんが理解してないんでしょう
＞一般的に、数学において
＞「かくかくしかじかの性質をみたすものは以下に限られる」
＞というタイプの定理は難しいことが多い。
＞それに対して、「ある群が単純群である」というのは遥かに簡単。
＞そんなことも分かってないっぽい。
分かってないっていうのは、そういうことですからねえ
昔（昭和時代）の日本では、難しい数学による重大な成果の例として
「ガロアの群論による５次方程式の非可解性の証明」
がよくあげられていた（本当はそれ証明したのアーベルなんだけど）
なんでそういうことになるのかとおもったんだけど
昔の代数学のテキスト（藤原松三郎の「代数学」等）とか見ると
「方程式のガロア群が巡回群のとき、その解がべき根で解けること」
をしつこく書いてるからなんだよね
（それ自体はまあ面白いといえば面白いけど別に実用的なものではない）
でも、今、代数方程式でそこまでやらない
（解が欲しけりゃ数値計算すればいいし
解の存在だけならガロア理論とかいわなくても
複素解析で証明できるから）
だからいまどきの人は別に
「５次（以上の）方程式が非可解であることがガロア理論で証明できる」
とか聞いても「ふーん」で終わり
ガロア理論の重要性は、代数方程式が解けるかどうかとは別のところにあるから
＞なんで>>492で、「有限単純群の分類」という話になったのか謎。
＞まさか、そこまで数学に理解がないのか、単に話したかっただけなのか。
単純に後期高齢👴さんが理解してないんでしょう
＞一般的に、数学において
＞「かくかくしかじかの性質をみたすものは以下に限られる」
＞というタイプの定理は難しいことが多い。
＞それに対して、「ある群が単純群である」というのは遥かに簡単。
＞そんなことも分かってないっぽい。
分かってないっていうのは、そういうことですからねえ
昔（昭和時代）の日本では、難しい数学による重大な成果の例として
「ガロアの群論による５次方程式の非可解性の証明」
がよくあげられていた（本当はそれ証明したのアーベルなんだけど）
なんでそういうことになるのかとおもったんだけど
昔の代数学のテキスト（藤原松三郎の「代数学」等）とか見ると
「方程式のガロア群が巡回群のとき、その解がべき根で解けること」
をしつこく書いてるからなんだよね
（それ自体はまあ面白いといえば面白いけど別に実用的なものではない）
でも、今、代数方程式でそこまでやらない
（解が欲しけりゃ数値計算すればいいし
解の存在だけならガロア理論とかいわなくても
複素解析で証明できるから）
だからいまどきの人は別に
「５次（以上の）方程式が非可解であることがガロア理論で証明できる」
とか聞いても「ふーん」で終わり
ガロア理論の重要性は、代数方程式が解けるかどうかとは別のところにあるから
522１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 08:42:48.36ID:XLfhCs0W523１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 08:54:27.99ID:XLfhCs0W >>507
>「有限単純群の分類」の証明なんて 頭からしっぽまで 全部読める人は 世界中さがしてだれもいない
>なぜならば、その証明の難しい部分の多くが コンピューターの中だからよ（人には そのまま理解できない。）
>よって 「A5が単純群」の証明云々を 「有限単純群の分類」の証明にも当て嵌めてみろってことよ ダブスタさん
「A5が単純群の証明」は人手でできる 人にもそのまま理解できる
だから、当てはめは不要
もし、「A5が単純群」の証明が分からないとすると
もっと基本的なところが分かってない可能性が大
例えば
「ある群の生成元全部がその群で共役」という性質から
「その群の正規部分群が単位群でないならば、もとの群と同じになる」と
なぜいえるのか、その理屈が分かってないとか
「交代群が３サイクルで生成される」とか
「交代群が５次以上なら３サイクルはみな共役」とかより以前の話
>「有限単純群の分類」の証明なんて 頭からしっぽまで 全部読める人は 世界中さがしてだれもいない
>なぜならば、その証明の難しい部分の多くが コンピューターの中だからよ（人には そのまま理解できない。）
>よって 「A5が単純群」の証明云々を 「有限単純群の分類」の証明にも当て嵌めてみろってことよ ダブスタさん
「A5が単純群の証明」は人手でできる 人にもそのまま理解できる
だから、当てはめは不要
もし、「A5が単純群」の証明が分からないとすると
もっと基本的なところが分かってない可能性が大
例えば
「ある群の生成元全部がその群で共役」という性質から
「その群の正規部分群が単位群でないならば、もとの群と同じになる」と
なぜいえるのか、その理屈が分かってないとか
「交代群が３サイクルで生成される」とか
「交代群が５次以上なら３サイクルはみな共役」とかより以前の話
524１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 09:00:42.33ID:ma/Yc09T525１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 09:04:03.99ID:ma/Yc09T x→aも1/|x-a|→∞で定義
ていうか
x→a+ ⇔ 1/(x-a)→∞
x→a- ⇔ 1/(a-x)→∞
で
ていうか
x→a+ ⇔ 1/(x-a)→∞
x→a- ⇔ 1/(a-x)→∞
で
526１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 09:15:51.30ID:ma/Yc09T an→∞(n→∞)はイメージもしやすくかつ定義
∀a∈R∃m∈N∀n>m(an>a)
も理解しやすい
というかその否定が
∃a∈R∀m∈N∃n>m(an<=a)
であり
そのことがan→∞(n→∞)ではないことの定義にする妥当性を理解しやすい
∀a∈R∃m∈N∀n>m(an>a)
も理解しやすい
というかその否定が
∃a∈R∀m∈N∃n>m(an<=a)
であり
そのことがan→∞(n→∞)ではないことの定義にする妥当性を理解しやすい
527１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 09:25:53.07ID:XLfhCs0W >>523
＞「ある群の生成元全部がその群で共役」という性質から
＞「その群の正規部分群が単位群でないならば、もとの群と同じになる」と
＞なぜいえるのか
AIに聞いたら、言えません、と反例つきで回答あり
A4の場合、2つある3サイクルの共役類の一方だけで生成できるとのこと
結局、Gがある共役類から生成できるだけでなく
Gの正規部分群Nがその共役類の中の1つを持てば
残りすべても全部含んでしまうということが重要
簡単に一般化できることではなかったようだ・・・
＞「ある群の生成元全部がその群で共役」という性質から
＞「その群の正規部分群が単位群でないならば、もとの群と同じになる」と
＞なぜいえるのか
AIに聞いたら、言えません、と反例つきで回答あり
A4の場合、2つある3サイクルの共役類の一方だけで生成できるとのこと
結局、Gがある共役類から生成できるだけでなく
Gの正規部分群Nがその共役類の中の1つを持てば
残りすべても全部含んでしまうということが重要
簡単に一般化できることではなかったようだ・・・
528１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 09:42:15.29ID:XLfhCs0W >>524
>an→a ⇔ 1/|an-a|→∞
1/|an-a|→∞ は an→∞ ではない
却下
>>525
>x→aも1/|x-a|→∞で定義
1/|x-a|→∞ は x→∞ ではない
却下
>x→a+ ⇔ 1/(x-a)→∞
>x→a- ⇔ 1/(a-x)→∞
どちらも x→∞ではない
却下
>>526
>an→∞(n→∞)はイメージもしやすく
>かつ定義
>∀a∈R∃m∈N∀n>m(an>a)
>も理解しやすい
∀ε＞0∃m∈N∀n>m(|a-an|<ε) を
∀a∈R∃m∈N∀n>m(an>a) に
置き換えた
要するに、ａのε近傍を
∞の近傍{ｘ|（ｘ∈Ｎ＆ｘ＞ｍ）⋁ｘ＝∞｝に
置き換えた
それだけ
＞その否定が
＞∃a∈R∀m∈N∃n>m(an<=a)
＞であり、それが
＞an→∞(n→∞)ではない定義とする
＞妥当性を理解しやすい
これまた
∃ε＞0∀m∈N∃n>m(|a-an|>=ε) を
∃a∈R∀m∈N∃n>m(an<=a) に
置き換えた
それだけ
>an→a ⇔ 1/|an-a|→∞
1/|an-a|→∞ は an→∞ ではない
却下
>>525
>x→aも1/|x-a|→∞で定義
1/|x-a|→∞ は x→∞ ではない
却下
>x→a+ ⇔ 1/(x-a)→∞
>x→a- ⇔ 1/(a-x)→∞
どちらも x→∞ではない
却下
>>526
>an→∞(n→∞)はイメージもしやすく
>かつ定義
>∀a∈R∃m∈N∀n>m(an>a)
>も理解しやすい
∀ε＞0∃m∈N∀n>m(|a-an|<ε) を
∀a∈R∃m∈N∀n>m(an>a) に
置き換えた
要するに、ａのε近傍を
∞の近傍{ｘ|（ｘ∈Ｎ＆ｘ＞ｍ）⋁ｘ＝∞｝に
置き換えた
それだけ
＞その否定が
＞∃a∈R∀m∈N∃n>m(an<=a)
＞であり、それが
＞an→∞(n→∞)ではない定義とする
＞妥当性を理解しやすい
これまた
∃ε＞0∀m∈N∃n>m(|a-an|>=ε) を
∃a∈R∀m∈N∃n>m(an<=a) に
置き換えた
それだけ
529１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 09:50:10.44ID:ma/Yc09T >>528
>それだけ
もちろんそれだけですよ
理解しやすいというだけ
後はそのバリエーション
>1/|an-a|→∞ は an→∞ ではない
an=aの時は除くで定義しておいてε=1/Lにする時は入れたらいいだけ
>それだけ
もちろんそれだけですよ
理解しやすいというだけ
後はそのバリエーション
>1/|an-a|→∞ は an→∞ ではない
an=aの時は除くで定義しておいてε=1/Lにする時は入れたらいいだけ
530１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 10:08:11.18ID:XLfhCs0W531１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 10:15:30.82ID:ma/Yc09T なぜan→aの定義から始めないかというと
特定の値に無限に近づいていくというイメージが
∀ε>0∃m∈N∀n>m (|an-a|<ε)
に結びつかない人が居るから
なぜかそういう人でも
無限大になる（無限に大きくなる）定義を
∀a∈R∃m∈N∀n>m (an>a)
と結びつけるのはできたりする
おそらく無限に近寄るより無限に大きくなる方が理解しやすいのだろう
特定の値に無限に近づいていくというイメージが
∀ε>0∃m∈N∀n>m (|an-a|<ε)
に結びつかない人が居るから
なぜかそういう人でも
無限大になる（無限に大きくなる）定義を
∀a∈R∃m∈N∀n>m (an>a)
と結びつけるのはできたりする
おそらく無限に近寄るより無限に大きくなる方が理解しやすいのだろう
532１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 10:20:13.72ID:XLfhCs0W533１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 10:25:27.19ID:ma/Yc09T あとそもそも
n→∞を∀m∈N (m<n)のようなイメージにできないかとも夢想する
もちろんnを普通の意味での自然数を渡る変数と見ることはできないけれど
「変化してそれが成立するようになる」
みたいな
超実数での無限大を超実数使わないで説明するようなこと
できないかなとも
n→∞を∀m∈N (m<n)のようなイメージにできないかとも夢想する
もちろんnを普通の意味での自然数を渡る変数と見ることはできないけれど
「変化してそれが成立するようになる」
みたいな
超実数での無限大を超実数使わないで説明するようなこと
できないかなとも
534１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 10:26:36.31ID:ma/Yc09T535１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 10:32:17.55ID:ma/Yc09T 超実数の場合は単に「そのうち成立してそこから先ずっと成立する」ではなくて「成立する集合が超フィルターに入る」で定義するからちょっと違う
n→∞のイメージはフレシェフルターで考えてる感じか
n→∞のイメージはフレシェフルターで考えてる感じか
536１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 10:46:55.65ID:XLfhCs0W537１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 10:51:11.77ID:XLfhCs0W >>535
＞n→∞のイメージはフレシェフルターで考えてる感じか
”のイメージ”、”感じか”は不要
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC
「無限集合 X の補有限部分集合全体 Pfin(X) ≔ {A ⊆ X : |X ∖ A| ≤ ∞} は
真のフィルターとなりフレシェ (仏: Fréchet) フィルターと呼ばれる。」
基本的に定義通りだから、イメージとか感じとかいう「無駄語」は不要
＞n→∞のイメージはフレシェフルターで考えてる感じか
”のイメージ”、”感じか”は不要
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC
「無限集合 X の補有限部分集合全体 Pfin(X) ≔ {A ⊆ X : |X ∖ A| ≤ ∞} は
真のフィルターとなりフレシェ (仏: Fréchet) フィルターと呼ばれる。」
基本的に定義通りだから、イメージとか感じとかいう「無駄語」は不要
538１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 11:10:04.45ID:ma/Yc09T 時間論理（可能世界？クリプキ意味論？）というのがあるそうだけどそれ使えないかなと思ったりも
539１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 11:18:37.32ID:6MRfe/bW >>456にオチコボレさんが答えられないようなので解答書いときますね
【命題】
lim[n→∞]1/2^n=0
【証明】
実数xを超えない最大の整数を[x]と書く。
[log_2_(1/ε)] ≦ log_2_(1/ε) < [log_2_(1/ε)]+1 と ε=1/2^(log_2_(1/ε)) より不等式 1/2^([log_2_(1/ε)]+1) < ε=1/2^(log_2_(1/ε)) ≦ 1/2^[log_2_(1/ε)] が成立。
よって ∀ε>0 に対し max{[log_2_(1/ε)]+1,0}:=m∈N が存在して ∀n∈N.(n≧m→1/2^n<ε) であるから、lim[n→∞]1/2^n=0 の定義式 ∀ε>0.∃m∈N.∀n∈N.(n≧m→1/2^n<ε) が成立。
【命題】
lim[n→∞]1/2^n=0
【証明】
実数xを超えない最大の整数を[x]と書く。
[log_2_(1/ε)] ≦ log_2_(1/ε) < [log_2_(1/ε)]+1 と ε=1/2^(log_2_(1/ε)) より不等式 1/2^([log_2_(1/ε)]+1) < ε=1/2^(log_2_(1/ε)) ≦ 1/2^[log_2_(1/ε)] が成立。
よって ∀ε>0 に対し max{[log_2_(1/ε)]+1,0}:=m∈N が存在して ∀n∈N.(n≧m→1/2^n<ε) であるから、lim[n→∞]1/2^n=0 の定義式 ∀ε>0.∃m∈N.∀n∈N.(n≧m→1/2^n<ε) が成立。
540１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 11:28:44.77ID:6MRfe/bW541１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 12:30:02.22ID:3rnLutpP >>520
群の単位元はeの方に慣れていて、1を見たのは珍しいということか。
群の単位元はeの方に慣れていて、1を見たのは珍しいということか。
542１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 13:18:10.82ID:3rnLutpP 単位元はアーベル群で0、非可換群では1を用いるみたい。
543１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 13:32:14.10ID:gkPQUlyD １０℃
晴れ
晴れ
544１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 14:14:06.64ID:f4XIzu48 >>541-542
>群の単位元はeの方に慣れていて、1を見たのは珍しいということか。
>単位元はアーベル群で0、非可換群では1を用いるみたい。
ありがとう
だいたいは、そういうことです
>>500より再録
（おっと ”1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると”は、ちょっとスベッているぞｗ 証明を述べるときの定型文の作法が いまいちかｗ）
(google検索)
交代群 A_5が単純群である ことの 証明は？
＜AI による概要＞
交代群 \(A_{5}\)（5次交代群）が単純群（非自明な正規部分群を持たない）であることの証明は、主に「\(A_{5}\) が長さ3の巡回置換で生成される」ことと「長さ3の巡回置換がすべて共役」であることを利用します。1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると、3-cycleを含むため \(A_{5}\) と一致することが示されます。
\(A_{5}\) が単純群であることの証明の骨子
1.定義の確認: 5次交代群 \(A_{5}\) は、1から5までの5つの数字の偶置換（長さ2の互換の偶数個の積）の集合であり、位数は \(\frac{5!}{2}=60\) です。
(引用終り)
数学的には
1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると
↓
A_{5}の正規部分Hが、単位元e 以外の元gを含むと仮定すると
と書くべき。”1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると”は、いかにも素人くさい表現だね
もっと言えば、もし 院試の１行問題で
問題 交代群 A_5が単純群である ことを示せ
と来たら
答案としては
１）まずは、定義から始めるべし
つまり、群の定義を書き、次に A_5の前に S5を上記同様
”A,B,C,D,Eの5つの文字の置換全てから成る”として
A_5の定義 偶置換（互換の偶数個の積より成る群）と書く
２）その上で 恒等置換をeと書くとして
正規部分群の定義を書く
３）A_5の正規部分Hが存在するとして、単位元e 以外の元gを含むと仮定すると
と初めて行く
４）次に 長さ3の巡回置換を少なくとも一つ含むことを示す
５）長さ3の巡回置換を少なくとも一つ含む場合に
群の定義（積で閉じている）から、H＝A_5を示す■
要するに 院試答案としては 単に正しいことだけでなく
採点者に 「こいつ 勉強している 書けているね」と思わせる答案を目指すことだ
定義から始める、数学用語を正確に使う、論証の筋が分かり易く追える などだ
そこらを意識した答案を 書く練習をすべき。当たり前のことだが
そういう目で >>500のAIの記載は 素人向けで かつ 厳密性に甘い ピリッとしない
記載だってことね （＾＾
>群の単位元はeの方に慣れていて、1を見たのは珍しいということか。
>単位元はアーベル群で0、非可換群では1を用いるみたい。
ありがとう
だいたいは、そういうことです
>>500より再録
（おっと ”1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると”は、ちょっとスベッているぞｗ 証明を述べるときの定型文の作法が いまいちかｗ）
(google検索)
交代群 A_5が単純群である ことの 証明は？
＜AI による概要＞
交代群 \(A_{5}\)（5次交代群）が単純群（非自明な正規部分群を持たない）であることの証明は、主に「\(A_{5}\) が長さ3の巡回置換で生成される」ことと「長さ3の巡回置換がすべて共役」であることを利用します。1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると、3-cycleを含むため \(A_{5}\) と一致することが示されます。
\(A_{5}\) が単純群であることの証明の骨子
1.定義の確認: 5次交代群 \(A_{5}\) は、1から5までの5つの数字の偶置換（長さ2の互換の偶数個の積）の集合であり、位数は \(\frac{5!}{2}=60\) です。
(引用終り)
数学的には
1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると
↓
A_{5}の正規部分Hが、単位元e 以外の元gを含むと仮定すると
と書くべき。”1以外に正規部分群 \(H\) を仮定すると”は、いかにも素人くさい表現だね
もっと言えば、もし 院試の１行問題で
問題 交代群 A_5が単純群である ことを示せ
と来たら
答案としては
１）まずは、定義から始めるべし
つまり、群の定義を書き、次に A_5の前に S5を上記同様
”A,B,C,D,Eの5つの文字の置換全てから成る”として
A_5の定義 偶置換（互換の偶数個の積より成る群）と書く
２）その上で 恒等置換をeと書くとして
正規部分群の定義を書く
３）A_5の正規部分Hが存在するとして、単位元e 以外の元gを含むと仮定すると
と初めて行く
４）次に 長さ3の巡回置換を少なくとも一つ含むことを示す
５）長さ3の巡回置換を少なくとも一つ含む場合に
群の定義（積で閉じている）から、H＝A_5を示す■
要するに 院試答案としては 単に正しいことだけでなく
採点者に 「こいつ 勉強している 書けているね」と思わせる答案を目指すことだ
定義から始める、数学用語を正確に使う、論証の筋が分かり易く追える などだ
そこらを意識した答案を 書く練習をすべき。当たり前のことだが
そういう目で >>500のAIの記載は 素人向けで かつ 厳密性に甘い ピリッとしない
記載だってことね （＾＾
545１３２人目の素数さん
2026/02/01(日) 14:26:10.54ID:7fcf3l1u マイナーな用語に関する問題は、定義を入れておいてほしいというのはある。
マイナーな用語の説明を入れていないということは、出題者がそれくらい知っていて当然と思っているということか。
マイナーな用語の説明を入れていないということは、出題者がそれくらい知っていて当然と思っているということか。
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