>>431 補足 の追加

過去に 下記の指摘があった
　>>258-260
・f(x)=|x|は(-1,1)を[0,1)に写す
・例えば　f(x)=x^2で、開区間(-1,1)の像は・・・アルェー？　(-1,0]で開集合じゃない
・山とか谷とかあればいいので、別にsinとかcosとかでもいい

なお　龍孫江さんも >>280より再録
http://blog.livedoor.jp/ron1827-algebras/archives/cat_1275732.html
龍孫江の数学日誌
連結性、連続性及び位相について
連結性, 連続性および位相について (その４)
2018年08月07日
例 16.
2 次関数
f:R→R; f(x)=x^2, は閉写像だが開写像でない. 実際,
0 を含む開区間 (a,b), a<0<b, を考えれば, その f による像は
半開区間 [0,max(a^2,b^2))
であり, これは開集合ではない.
(引用終り)

この指摘については
y=f(x)の 象、つまりy軸上の図形を考えたときに
上記の指摘の点は すべて 下記の位相空間論の境界になっている
だから 位相空間論の境界では うまく開集合が取れなくても しかたない
たぶん 位相空間論の境界については、別の議論が必要なのだろう きっと　（＾＾；

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%83%E7%95%8C_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
境界 (位相空間論)
位相空間 X の部分集合 S の境界（英語: boundary, frontier）とは、S の中からも外からも近づくことのできる点の全体の成す X の部分集合のことである。もうすこし形式的に言えば、S の触点（閉包に属する点）のうち、S の内点（開核に属する点）ではないものの全体の成す集合のことである。S の境界に属する点のことを、S の境界点(boundary point) と呼ぶ。S が境界を持たない (boundaryless) とは、S が自身の境界を包含しないこと、あるいは同じことだが境界点がひとつも S に属さないことをいう[1]。集合 S の境界を表すのに、bd(S), fr(S), ∂S[2] のような記法がしばしば用いられる。代数的位相幾何学における境界 (boundary) の概念との区別のため、ここでいう境界に対応する語として "boundary" の代わりに "frontier" を用いることがある（たとえば松坂『集合・位相入門』[3]）。

集合 S の境界の連結成分のことを、S の境界成分 (boundary component) という。

よくある定義
位相空間 X の部分集合 S の境界について、複数の（しかし互いに同値な）定義の仕方がある。よく用いられるものとしては[2]
略す

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E9%83%A8_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
内部 (位相空間論)