>>280 戻る
>龍孫江の数学日誌 より追加
>”今節の大きな目標は,「なぜ開写像／閉写像を連続と定義しなかったのか」を明らかにすることです”

龍孫江さん、ちょっとすべっている
例 16. 2 次関数 は
　>>293の 論点２）の例外点
つまり 連続なのに 逆像として うまく開集合が取れない点が 存在するという話で

一方 >>293
"１）定義域ｘにおけるある点ｘ0で ｘ0の象y0において「値域yのy0の近傍の開集合の逆像がまた ｘ0の近傍の開集合である」とき 写像 ｆは y0 において連続"
という命題において 順像でなく 逆像を考える意義がどこにあるのか？

それは、例 16. 2 次関数の話とは 全く別の話です

それを いま簡単な例で説明しよう
y ＝x　(x<0)
　＝x+1(0=<x)
とする。つまりx＝0 で不連続で +1増えるとする

この場合 y軸に直角に 横からグラフを見ると x＝0 でジャンプしているのが分かる
だから y軸で見て y軸上の開集合 例えば (0.5 , 1.5)をとって
その逆像 つまり x軸の像を考えると [1, 0.5) となって 開区間（＝開集合）ではない
とすることできる
それで 上記関数が x＝0 で不連続を示すことができる

ところで、このグラフを x軸に直角に 例えば 下からグラフを見上げたら？
多分 x＝0 で不連続は 見難いだろうし
y軸上の開集合 (0.5 , 1.5)を とれば 不連続を示せるも 思いつきにくいだろう

逆像を見る意義は、そういうことですね
つまり、y軸上の不連続を見るのだから y軸に垂直に横から見て ギャップの箇所を見つけて
そこから y軸上の開集合で x軸への開集合にならない逆像を構成して 不連続を示す

そういう不連続を示すことが
全くできない関数を 連続関数と呼ぶ■