>>280 追加
(引用開始)
http://blog.livedoor.jp/ron1827-algebras/archives/cat_1275732.html
龍孫江の数学日誌
連結性、連続性及び位相について
連結性, 連続性および位相について (その４)
2018年08月07日
例 16.
2 次関数
f:R→R; f(x)=x^2, は閉写像だが開写像でない. 実際,
0 を含む開区間 (a,b), a<0<b, を考えれば, その f による像は
半開区間 [0,max(a^2,b^2))
であり, これは開集合ではない.
距離空間の場合には, やはり距離を用いて連続性を定義できます. 数学科の初年度で誰もが一度は苦しむ, 悪名高き
ϵ-δ 論法です.
略
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
類似例 >>259
”例えば　f(x)=x^2で、開区間(-1,1)の像は・・・アルェー？　(-1,0]で開集合じゃないぞぉ！”

さて
(google検索)
リーマン面 √ 平方の逆関数
＜AI による概要＞
リーマン面（Riemann surface）において、平方根関数 w=√z (または z^1/2) の逆関数は、二乗関数 z=w^2 です。 複素数の世界では、平方根は「2価の関数」であり、単純な複素平面 z-平面）上では連続的に定義できませんが、2枚の複素平面を適切に貼り合わせたリーマン面を定義することで、一価の正則関数（逆関数）として扱うことができます。 

リーマン面における平方根 w=√z の構成
1.2価性と分岐点: z=re^iθ とすると、√z=√r e^iθ/2 となるため、角度 θ が 2π 一周すると符号が反転し、値が w から -w へ変わります。
　この符号が変わる中心となるのが、分岐点（Branch point）の z=0 と z=∞ です。

2.分岐切断（Branch Cut）: 通常、正の実軸（または負の軸）に沿って分岐切断を設け、2つの平面（シート）に切れ込みを入れます。

3.シートの貼り合わせ:
　1)1枚目のシートの切れ込みの上側 θ=0と、2枚目のシートの切れ込みの下側θ=4πを接続します。]
　2)1枚目の下側と2枚目の上側を接続します。
　3)これにより、一周しても元のシートに戻らず、別のシートを経由する閉じた面（リーマン面）が完成します。

4.結果: このリーマン面上では、√z は1つの z に対して必ず1つの w が対応する一価関数になります。 
・逆関数 z=w^2 との関係 リーマン面 → 複素平面:
　リーマン面上の各点 (z,w) に対して (z) の値を対応させると、これは (w^2) という一価関数（二乗関数）に対応します。
・形状: 平方根のリーマン面は、位相的には球面（2枚のシートが0と∞で繋がった形状）と等価です。 

まとめ 
リーマン面における √z の逆関数は、z=w^2 であり、これは2枚の複素平面を分岐切断で繋ぎ合わせた曲面上において、2価の問題を解消した「一価」の関数として成立します
以上