どうせ、コピペザルは質問はできても
回答の数式のコピぺすらできないだろうから、
代わりにやってやった（笑）

Copilotの回答

距離空間の「ε–δ連続」と、位相空間の「開集合の逆像が開」という定義が、
距離空間では実は同じことを言っている、という話をきちんと示してみよう。

1. 距離空間と位相空間の設定

・距離空間から誘導される位相

距離空間 (𝑋,𝑑𝑋) に対して、
各点 𝑥∈𝑋、半径 𝜀 > 0 の開球を
𝐵𝑋(𝑥,𝜀)={𝑦∈𝑋∣𝑑𝑋(𝑥,𝑦)<𝜀}と書く。
これら開球の任意和で得られる集合全体を
𝜏𝑋={𝑈⊂𝑋∣∀𝑥∈𝑈, ∃𝜀>0, 𝐵𝑋(𝑥,𝜀)⊂𝑈}
とすると、
(𝑋,𝜏𝑋) は位相空間になる
（これを距離 𝑑𝑋 が誘導する位相という）。

同様に、
距離空間 (𝑌,𝑑𝑌) から位相 𝜏𝑌 を定める。

（つづく）