>>213 補足

超重要キーワード
”ε-近傍”を思い出したよ

いやね >>195 の”（ここで B_d(x, ε) = {y ∈ X | d(x,y) < ε} は開球）”
は 紙の答案としては是だが

一方 院試の口頭試問の場では ”ε-近傍”という キーワードを
うまく使って説明するのがよさそうだ

板書できる環境なら良いが
多分 院試の口頭試問では 板書は不可だろうから （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間

距離空間の位相構造
xのε-近傍の事を、ε-球（ε-ball）、ε-開球（ε-open ball）、あるいは単に開球（open ball）ともいう。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%86%99%E5%83%8F
連続写像

連続性は位相空間論において一般化され、近傍系や開集合系などの位相的構造を逆像で保つこととして定義され（後述）、この意味で連続写像は位相的構造についての準同型である。

距離空間の間の写像の連続性
点 p の ε-近傍 Bε(p) = {q | d(q, p) < ε} の概念を用いることで、

任意の正の実数 ε について適切な正の実数 δ をとることで、a の δ-近傍に含まれる全ての x について f(x) は f(a) の ε-近傍に含まれる
とも言えて[注 6]、x ∈ A → f(x) ∈ B ⇔ f(A) ⊂ B ⇔ A ⊂ f^−1(B) であることから、一階述語論理で
∀ε>0∃δ>0[f(Bδ(a))⊂Bε(f(a))]
（f(a) の任意の ε-近傍は a のある δ-近傍の像を包む）
あるいは
∀ε>0∃δ>0[Bδ(a)⊂f^−1(Bε(f(a)))]
（f(a) の任意の ε-近傍の逆像は a のある δ-近傍を包む）
と表すこともできる[10]。

さらに、点 p の近傍の全体 𝒩(p) = {V | ∃ε > 0 [Bε(p) ⊂ V]} を用いて、ε や δ が現れず距離に明示的に依存しない形に書き直すことができる。f(a) の任意の近傍 V はある ε-近傍を包んでいるので、それに対応した a のある δ-近傍を近傍 W として持ってくるのである。その結果、
∀V∈N(f(a))∃W∈N(a)[f(W)⊂V]
（f(a) の任意の近傍 V は a のある近傍 W の像を包む）
あるいは
∀V∈N(f(a))∃W∈N(a)[W⊂f^−1(V)]
（f(a) の任意の近傍 V の逆像は a のある近傍 W を包む）
とあらわすことができる。特に後者はより短く
∀V∈N(f(a))[f^−1(V)∈N(a)]
（f(a) の任意の近傍 V の逆像は a の近傍である）
と表すこともできる。