Q.
距離空間における連続性の定義と
位相空間における連続性の定義の
同値性を示してくれる？

A.
距離空間における連続性の定義（ε-δ定義）と、
位相空間における連続性の定義（開集合の逆像が開集合）は、
距離空間が誘導する位相を考えたときに完全に同値です。
以下に、両者の定義を明確に書いて、同値性を証明します。

1. 距離空間における連続性の定義（ε-δ）
(X, d_X), (Y, d_Y) を距離空間とする。
写像 f : X → Y が x₀ ∈ X で連続 とは：
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 s.t.d_X(x, x₀) < δ ⟹ d_Y(f(x), f(x₀)) < ε
f が（全体で）連続 ⇔ すべての x₀ ∈ X で上記が成り立つ。

2. 位相空間における連続性の定義（開集合による）
(X, τ_X), (Y, τ_Y) を位相空間とする。
写像 f : X → Y が 連続 とは：
任意の開集合 V ∈ τ_Y に対して f⁻¹(V) = {x ∈ X | f(x) ∈ V} が X の開集合（∈ τ_X）である。

重要な事実：距離空間は位相空間になる
任意の距離空間 (X, d) に対して、距離から誘導される位相 τ_d を次のように定義する：
U ∈ τ_d ⇔ ∀x ∈ U, ∃ ε > 0 s.t. B_d(x, ε) ⊆ U
（ここで B_d(x, ε) = {y ∈ X | d(x,y) < ε} は開球）
このとき (X, τ_d) は位相空間になり、距離空間の開集合はこの位相の開集合と一致します。

(以下、定理とその証明につづく）