>>169 補足
ホイヨ
(google検索)
一階述語理論としてのZFC
<AI による概要>
ZFC（ツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理）は、一階述語論理の言語で表現される数学の標準的な基礎理論であり、数学のほとんど全ての概念（数、関数、図形など）を「集合」として記述し、その公理に基づいて形式的な証明を行う体系です。ZFCの公理自体は論理式で書かれ、無限集合の存在や集合の構成に関する強力な原理を含み、現代数学の土台となっていますが、論理学的な真理そのものではなく、数学的な実質を持つ公理系として機能します。
一階述語理論としてのZFCのポイント
・形式言語: ZFCは、一階述語論理（一階述語計算）という形式言語（記号と文法）の枠組みの中で構築されています。
・公理図式: 分出公理図式や置換公理図式のように、無限個の公理に対応する「図式（Schema）」として表現されます。
・数学の土台: 数学の定理はZFCの公理から導かれる論理式として記述され、形式的な証明が与えられます。
・集合論: 全ての数学的対象を集合として扱う「公理的集合論」の標準であり、その公理群は集合の振る舞いを規定します。
・論理と実質: ZFCは一階述語論理で書かれていますが、その公理は純粋な論理的真理ではなく、集合に関する強力な仮定（無限公理など）を含み、論理主義（数学が論理のみで構築されるとする考え）の完全な実現ではないとされます。

つまり、ZFCは「一階述語論理」という道具（形式体系）を使って、「集合」という概念を詳細に定義し、その上で全ての数学を展開するための「ルールブック（公理系）」のようなもの、と理解できます。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
一階述語論理
一階述語論理の表現力
一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。すなわち、数学の命題は一階述語論理の論理式によって記述することができ、そのように論理式で記述された数学の定理には ZFC の公理からの形式的証明 (formal proof) が存在する。このことが一階述語論理が重要視される理由の一つである。この他にペアノ算術のように単独で形式化する理論もある。

https://www.reddit.com/r/math/comments/1679e45/how_can_you_define_structures_for_firstorder/?tl=ja
reddit
r/math 2年前 Tc14Hd
ZFCを使わずに、一階述語論理の構造を定義するにはどうすればいいですか？
一階述語論理のセマンティクスについて学んでからずっと、構造に関する疑問が頭から離れません。構造の定義（例えば、Wikipediaの [](https://en.wikipedia.org/wiki/Structure_(mathematical_logic)#Definitionにあるもの）を読むと、構造はドメイン、シグネチャ、解釈関数からなるタプルだと書かれています。
ここで問題があります 略