現在の数学・論理学では、証明は有限個の論理式しか書けない。
だから、無限個の命題を証明するには、たとえば数学的帰納法などの有限に帰着させるテクニックが必要。

例:
任意の自然数nに対して、Σ n = n(n +1)/2。
これをP(n)とおくと、∀n, P(n)を示すには、無限個の命題P(1), P(2), ... を示さなければいけない。
しかし、上手い式変形を見つけたり、数学的帰納法を使えば、有限の記述で証明できる。

逆に、証明を構成する論理式は無限個でも（非可算個でも）いい、としてはどうか？
そうすれば、上記のような命題の直接証明が可能になる。