> x,y,zは自然数なので、m<2でないと、駄目ですね。

0<m<2ですか。

(1)はy^2=(x+m)^2-x^2だからy^2=2mx+m^2。y=2とする。

m=1/2とすると4=x+1/4,x=15/4,x+m=17/4。x:y:z=15/4:2:17/4=15:8:17。
m=1/3とすると4=2x/3+1/9,x=35/6,x+m=37/6。x:y:z=35/6:2:37/6=35:12:37。

やっぱりL^2/M^2={(t+1)^2}/(t^2)=(25/4)/(9/4)=25/9となりません。