>>219
ありがとうございます
スレ主です

お陰様で勉強させてもらいました
なかなかここまで深いレベルまで必要とされないので、いままで表面の理解だけで終わっていました

そもそもの話に戻ると
前スレからの”正則（Holomorphic）と等角(Conformal map)の問題”で
本来は、正則（Holomorphic）と等角(Conformal map)とは、全く別に起源をもつ概念だが
しかし、複素関数論では
コーシー・リーマンの方程式の導きにより
（The Looman-Mwenchoff Theorem も使って）
同値関係：正則（Holomorphic）←→等角(Conformal map)
が成立ってことですね

複素平面 C→C ですが
二次元でR^2→R^2 に翻訳することも可能です
しかし、複素関数論が高度に整備されているし、普通は複素関数 C→C で等角写像を扱います（圧倒的にR^2→R^2より分かり易いｗ）
（余談ですが、物理では共形変換ですね）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%A2%E5%A4%89%E6%8F%9B
共形変換（conformal transformation）とは、空間のある1点で交わった2曲線の接線のなす角度が保存される変換
等角写像とも。
並進、回転、スケール変換などはその最も簡単な例。
特に、2次元では無限個の変換が存在することが示され、複素平面上の解析関数で表現できる。
場の理論において、共形変換のもとで不変となっている物理系を記述する理論を共形場理論と呼ぶ。