今はp_{n+1}>=p_n+log p_nなんだから
F(p_n+log(p_n)) = (log(p_n + log p_n) - log p_n)/log(p_n) <= (log(p_{n+1}) - log p_n)/log(p_n)
であって、
F(p_n+log(p_n))=(log(p_{n+1}) - log p_n)/log(p_n)
とは限らないんじゃないの？