>>647
1/p(n)<(log(n+1)-logn)/(n+1-n)

>>648
よく分かりませんが、理解が間違っていると思います。
＞b - a > log a
この式は、下限がlog aなので
b - a ≧ log a
が正しいと思います。

(log(pn+1)-log(pn))/(pn+1-pn)<f'(pn) ①
は全てのnで成立します。
このときに、Ⅱのⅰの場合には、Ⅱの場合分けによりpn,pn+1が存在しないということになり
pn.pn+1が存在するのは、pn+1-pn≧log(pn)のときになり、pn+1-pnの下限がlog(pn)だと
いうことになります。全てのnで成立するのですから、pn+1-pn=log(pn)のときにも
(log(pn+1)-log(pn))/log(pn)<f'(pn) ②
は成立することになります。グラフを考えれば分かりますが、このpn+1-pnが下限になるときに
(log(pn+1)-log(pn))/log(pn)は上限になります。よって、②が成立するときに
は、他の上限とならない場合でも、式①は成立することになります。

>>650
Ⅱのⅰの場合は存在しないことを証明していますので、ⅰの逆の場合しか存在しない
ということになり、下限は存在します。実際に下限の値をとるかは別の証明が必要です。