日高の言いたいことはこうだと思う。

【定理】n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
x^3+y^3=z^3を、x^3+y^3=(x+r)^3…(1)とおく。
(1)でr^2=3とすると、x^3+y^3=(x+√3)^3…(3)となる。
(3)のyに任意の有理数を代入すると、xは無理数となる。
(3)のrが任意の数の場合、ある自然数x,yに対しx^3+y^3=(x+r)^3が成り立つならば
両辺を(r/√3)^3で割って、(3)に自然数比をなす実数解があることになる。
これは矛盾。
∴n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。

もちろん、「これは矛盾」としたところに誤りがある。