【定理】n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
x^3+y^3=z^3を、x^3+y^3=(x+r)^3…(1)とおく。
(1)をr^2{(y/r)^3-1)=a3(x^2+rx)…(2)と変形する。
(2)はa=1のとき、x^3+y^3=(x+√3)^3…(3)となる。
(2)はa=1以外のとき、x^3+y^3=(x+{a3}^(1/2))^3…(4)となる。
(3)はyを有理数とすると、xは無理数となる。
(3)(4)の解の比は同じとなる。
よって、(4)の{a3}^(1/2)が有理数のときも、解は整数比とならない。
∴n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。