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x=m(有理数)を代入したとき，yの値が必ず無理数となることを示すことになります。
逆(yが有理数ならばxは無理数)でもかまいません。

(x-1)(x^2+x+1)=3(y^2+y)が、x=mの場合、(mは有理数)
(m^2+m+1)=(3/m-1)(y^2+y)
(m^2+m+1)=(y^2+y)のyが無理数で成立するならば、
(3/m-1)は有理数なので、
(x^m+m+1)/(3/m-1)=(y^2+y)の右辺のyは無理数となります。

(m^2+m+1)=(y^2+y)のyが有理数で成立するならば、
1=(3/m-1),m=4となります。