【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。
x^p+y^p=z^pを、x^p+y^p=(y+1)^p…(1)とおいて、有理数解を求める。
(1)を(x-1)(x^(p-1)+x^(p-2)+…+1)=p(y^(p-1)+…+y)…(2)と変形する。
(2)が成立するならば、(x-1)=pのとき、
(x^(p-1)+x^(p-2)+…+1)=(y^(p-1)+…+y)…(3)となる。
(3)はx=p+1のとき、左辺は奇数、右辺は偶数となる。
よって、(3)(2)(1)は有理数解を持たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。