日高と申します。よろしければ、ご指摘いただけないでしょうか。

【定理】n=2のとき、x^n+n^p=z^nは自然数解を持つ。
x^2+y^2=z^2を、x^2+y^2=(x+r)^2…(1)とおく。
(1)をr{(y/r)^2-1}=2(x)…(2)と変形する。
(2)はr=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(2)はr=mのとき、x^2+y^2=(x+m)^2…(4)となる。(mは有理数)
(3)はyが有理数のとき、xは有理数となるので、有理数解を持つ。
(3)と(4)のx,yの比は同じなので、(4)も有理数解を持つ。
∴n=2のとき、x^n+n^p=z^nは自然数解を持つ。