【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持つ。
x^2+y^2=z^2を、x^2+y^2=(y+m)^2…(1)とおく。(x,y,mは整数）
(1)をx^2+y^2=(y+1)^2…(2)とおいて、有理数解を求める。
(2)を(x-1)(x+1)=2y…(3)と変形する。
A=(x-1)、B=(x+1)、C=2、D=yとおく。
AB=CDならば、A=Cのとき、B=Dとなる。
A=Cとすると、(x-1)=2となるので、x=3となる。
(3)のBにx=3を代入すると、2*4=2*yとなるので、y=4となる。
(3)はx=3のとき、整数解を持つので、有理数解を、無数に持つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持つ。