日高と申します。よろしければ、ご指摘いただけないでしょうか。

【定理】n≧3のとき、x^n+n^p=z^nは自然数解を持たない。
x^3+y^3=z^3を、x^3+y^3=(x+r)^3…(1)とおく。
(1)をr^2{(y/r)^3-1}=3(x^2+rx)…(2)と変形する。
(2)はr^2=3のとき、r=√3となる。
これを、(1)に代入すると、x^3+y^3=(x+√3)^3…(3)となる。
(2)はr^2=m^2のとき、r=mとなる。(mは整数)
これを、(1)に代入すると、x^3+y^3=(x+m)^3…(4)となる。
(3)はyが有理数のとき、xは無理数となり、x,yは整数比とならない。
(3),(4)のx,yの比は同じなので、(4)のx,yも整数比とならない。
∴n≧3のとき、x^n+n^p=z^nは自然数解を持たない。