【定理】p=3のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。
x^3+y^3=z^3を、x^3+y^3=(y+1)^3…(1)とおく。(x,yは有理数)
(1)を(x-1)(x^2+x+1)=3(y^2+y)…(2)と変形する。
(2)は(x-1)=mのとき、(x^2+x+1)=(3/m)y^2+(3/m)y…(3)となる。
(3)の左辺の項数は奇数、末項は１。右辺の項数は偶数なので、成立しない。
∴p=3のとき、x^p+y^p=zは^pは自然数解を持たない。