日高と申します。よろしければ、ご指摘いただけないでしょうか。

【定理】p=5のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。
x^5+y^5=z^5を、x^5+y^5=(y+1)^5…(1)とおく。(x,yは有理数)
(1)を(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=5(y^4+2y^3+2y^2+y)…(2)と変形する。
(2)は(x-1)=5のとき、(x^4+x^3+x^2+x+1)=(y^4+2y^3+2y^2+y)とならない。
∴p=3のとき、x^p+y^p=zは^pは自然数解を持たない。