日高と申します。よろしければ、ご指摘いただけないでしょうか。

【定理】p=3のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。
x^3+y^3=z^3を、x^3+y^3=(y+1)^3…(1)とおく。(x,yは有理数)
(1)をx^3-1=3y^2+3y…(2)と変形する。
(2)の両辺を(x-1)(x^2+x+1)=3y(y+1)…(3)と因数分解する。
(3)の両辺は形が異なるので、成立しない。
∴p=3のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。