>x^3+y^3=z^3を、x^3+y^3=(y+1)^3…(1)とおく。

このようにかってに「おく」ことは数学の証明では許されない。
もし勝手においていいのなら

x^2+y^2=z^2を、x^2+y^2=2(x^2+y^2) とおく。
とすることでx^2+y^2=z^2に自然数解が無いという証明が許されることになってしまう。

しかしx^2+y^2=z^2は自然数解を持つ。

数学の証明は一度誤りを書いた時点でその後に何を書こうが証明が正しくなることはない。

よって置けることが正当化されていないのに「とおく。」と誤りを書いた時点で証明は間違い。その後に書いたこと、その後に重ねた言い訳によって証明が正しくなることはない。