>x,y が整数だったら、一般性を失わないためには
　x^3+y^3=(y+m)^3…(1) としなければならない
という事は認めてもらえるでしょうか？

x^3+y^3=(y+m)^3…(1) が成立するならば、
x^3+y^3=(y+1)^3も成立します。
(p=2の場合により）

例
15^2=(8+9)^2-8^2
15^2=(112+1)^2-112^2