【定理】p=3のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。
x^3+y^3=z^3を、x^3+y^3=(y+1)^3…(1)とおく。x,yは整数とする。
(1)を(x-1)(x^2+x+1)/3=y(y+1)…(2)とおく。
x=2n+1とおく。
(2)はn=1のとき、2(13/3)≠2(3)となる。
(2)はn=2のとき、4(31/3)≠4(5)となる。
(2)はn=3のとき、6(19)≠6(7)となる。
∴p=3のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。