>>166
p=2のとき、あなたの同じ要領でやってみます。

ある自然数x,y,zが、x^2+y^2=z^2を満たすとする。
両辺x^2で割って
(x/x)^2+(y/x)^2=(z/x)^2
Y=y/x,Z=z/xとおくと、Y,Zは正の有理数である。このX,Yを代入して
1+Y^2=Z^2　この式を変形して
Y^2=Z^2-1
Y^2=(Z-1)(Z+1)
左辺は因数分解すればY×Yですが、あなたは1×Y^2であるといっていた気がします。
1×Y^2=(Z-1)(Z+1)
これをA=1,B=Y^2,C=Z-1,D=Z+1とおく。

1=(Z-1)のとき、Y^2=3となって、Y=√3、これは元の問題の答えとしてふさわしくありません。

あなたの理屈でいえば、このとき、1×Y^2=(Z-1)(Z+1)を満たす有理数はないことになってしまう。
元のx,y,zに戻していえば、x^2+y^2=z^2を満たす自然数はないことになってしまう。
それは間違いです。A=Cのとき、Yが元の問題の答えとしてふさわしくなくても、
A=Cでないときに、元の問題の答えとしてふさわしいY,Zが存在します。


ふつうに、Y×Yと因数分解しても

Y×Y=(Z-1)(Z+1)
これをA=Y,B=Y,C=Z-1,D=Z+1とおく。

Y=Z-1のとき、B=Dの式はY=Z+1となって、これは明らかに成り立たない。つまり、Y≠Z+1
あなたの理屈でいえば、このとき、Y×Y=(Z-1)(Z+1)を満たす有理数はないことになってしまう。
元のx,y,zに戻していえば、x^2+y^2=z^2を満たす自然数はないことになってしまう。
それは間違いです。A=Cのとき、B=Dとならなくても、、
A=Cでないときに、元の問題の答えとしてふさわしいY,Zが存在します。