分からない問題はここに書いてね 470

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/28(土) 02:31:20.47

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね 469
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1626533729/

(使用済です: 478)

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☆掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
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**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 12:05:48.06

この定理の証明ですが、

G' と G/N は同形
H' と H/N は同形

であることまでは示しても、

H/N が G/N の正規部分群であることを証明している本がありません。

G' と G/N は同形
H' と H/N は同形

ですが、

G'/H' と (G/N)/(H/N) とが同形であることはやはり証明しなければならないことです。

しかし、まじめに証明している本がありません。

非常におかしなことです。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 12:18:58.24

明らかに正しいだろ

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 12:25:20.41

>>953

他の明らかなことには証明をつけているにもかかわらず、

>>952

の事実には証明をつけていません。

フェアじゃないですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 12:29:59.34

>>952

せめて、「明らかに、H/N が G/N の正規部分群である」や「明らかに、G'/H' と (G/N)/(H/N) とが同形である」と書くくらいはすべきです。

それすら書いていない本ばかりです。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 12:37:08.93

G を群とする。
N を G の正規部分群とする。

H' が G/N の正規部分群であるための必要十分条件は、 N を含むような G の部分群 H を用いて H' = H/N と書けることである。

この命題が必要ですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 12:40:43.70

厳密といわれるブルバキの本にもこのような命題は書いていないんでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 12:51:31.26

G を群、 N をその正規部分群とする。
G' を群、 N' をその正規部分群とする。
G が G' と同形であるとする。
N が N' と同形であるとする。

このとき、

G/N と G'/N' は同形である。

この命題も必要ですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 13:12:16.60

>>958

あ、これだと成り立たないかもしれないですね。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 13:19:42.17

>>951
>f を G から G' への準同型写像
全射？

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 13:20:28.06

G を群、 N をその正規部分群とする。
G' を群、 N' をその正規部分群とする。
G が G' と f により同形であるとする。
N が N' と f|N により同形であるとする。

このとき、

G/N と G'/N' は同形である。

これなら成り立ちそうですね。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 13:21:25.82

>>960

あ、全射準同型でないと駄目ですね。
ありがとうございます。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 13:22:13.64

だいたい演習で学生にやらせるんじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 13:36:45.71

>>959

G = G' = Z （加法群）
N = Z
N' = 2*Z

恒等写像は Z から Z への同型写像。
N ∋ n → 2*n ∈ 2*Z は同型写像。

G/N = 単位群
G/N' = Z/2*Z

これらは同形ではない。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 13:37:58.73

ということでいかにも成り立ちそうな

>>958

が成り立たないわけです。

ですから、

>>958

と似た命題である

>>961

はちゃんと証明する必要があると思います。

が、証明している本がありません。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 14:20:26.84

>>965
>いかにも成り立ちそうな
え？成り立ちそうに思えないけど
同型写像1つ決めないと

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 14:22:04.81

逆に言えば
同型写像があれば同一視して構わないよ

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 14:34:01.78

鈴木通夫著『群論』ってどうですか？

オンデマンドなのが嫌ですが。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 14:36:48.41

なに読んでも一緒
ひとつも頭に入ってない

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 14:42:11.02

というか一つの本に全青春をかけるくらいの気持ちで本というのは取り組むもんだ
特にお前みたいな初心者は特に
ところがお前はどの本読んでも中途半端なところで投げ出して次から次へと参考書を渡り歩く
ひとつも何にも頭に入ってない、力がついてない
そしてその事実からずっと目を背け続けていつかなんとかなると思ってるパープー
お前には数学は無理
学問を修める人間に求められる心構えがひとつもわかってない
やめとけって

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 17:26:16.29

連立方程式
x=4y^2-1
y=4z^2-1
z=4x^2-1
が持つ実数解の個数を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 18:05:02.18

>>940

J. J. Rotman著『An Introduction to the Theory of Groups』

では、部分群の定義が以下です：

G を群とする。 S を空でない G の部分集合とする。

s ∈ S ⇒ s^{-1} ∈ S
s, t ∈ S ⇒ s * t ∈ S

が成り立つとき、 S を G の部分群という。

そして、この定義のすぐ後に、以下の定理が来ます：

定理1
S が G の部分群 ⇒ S はそれ自身、群である。

部分群をRotmanの本のように定義するならば、確かに、定義に含まれますが、「S はそれ自身、群である」を G の部分群の定義にすると、
当然、 1_G ∈ S などは証明しなければなりません。

永田雅宜さんの本では、証明すべきことが証明されていないわけです。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 18:07:03.54

やはり高齢の方の書いた本は避けるべきということでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 18:20:30.49

>>952　H/N が G/N の正規部分群であることを証明している本がありません。
f:G/N → G/H gN→gH （N⊆H）
H/NはKerfだからG/Nの正規部分群であるのはすぐわかるでしょう。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 18:31:11.25

3次方程式
x^3+ax^2+bx+c=0
がx=a,x=b,x=cを解に持つための、整数a,b,cについての必要十分条件を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 18:44:09.59

自分の書架にある
雪江の群論入門、星の群論序説、新妻の群環体入門、松坂の代数系入門
では、群であることが部分群の定義になってるね
Wikiもそうなってるようだ

まぁはっきり言って行間読めなさすぎててただのイチャモンだとしか思えないけど

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 18:52:19.80

「星の群論序説」って占星術入門っぽくてステキ

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 19:31:36.44

そもそも“教科書を読む”とは”適切な行間の巾”を感じとる作業なのだ
どんな細かい行間も許さず“自明”という言葉を使わず何もかも書き込んでいけばそりゃ間違いもなくなる
しかし無限の時間も忍耐力もない人間は多少の間違いが入り込む危険を冒してでも適切な“行間”を入れて議論をせざるを得ない
初心者のうちはなるべく詰めて細かく、しかし勘助が掴めてくるにつれ少しずつ“容易、自明”で済ましてしまう巾を広げていく
しかし自明でもなんでもない事を“自明”で済ませる事はもちろん数学ではない、それが本当に“自明”と思えるくらいに、証明を求められれば一瞬で完成させられる力をつけていく作業
しかしどの程度のことは飛ばすべきなのか、詰めて議論すべきなのか、その“間合い”をプロの数学者の文章から読み取って自分の中に積み上げていく、それが教科書を読む意味の半分はあると言っていい
このカスにはまぁ理解できんやろ

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 19:47:52.01

>>977
星のうんこぅはお好きですか？
マドモアゼル愛←男性です。
興味がおありですか？
そんなロマンチックな貴方は
♓魚座かなにか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 19:52:50.71

>>978
助けて！ｫ賢者様ﾝ!
14星座のホロスコープ、何年ググってもﾋｯﾄしません!
ちょこっと作って広告料稼いでみてくれても…ばれへんか…
作ってくれよな～頼むよ～

そのくらいﾁｮﾛｨんでしたっけね、諸賢さん?

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 20:50:19.45

>>972
どういう状況を言わんとしているか分かれば
定義の条件がどれだけ少なくできるかとか
意味ないことも理解できると思うけどね

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 20:58:57.01

>>975
(x-a)(x-b)(x-c)=0
x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
x^3+ax^2+bx+c=0
係数を比較して
a=-a-b-c
b=ab+bc+ca
c=-abc
よってb=-2a-c,b=ca/(1-a-c),b=-1/a
この連立方程式が解けません
よろしくお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/03(木) 02:17:44.23

3次方程式f(x)=0は相異なる3つの素数を解に持つ（素数は正とする）。
またxy平面において、3次関数のグラフy=f(x)は極大値と極小値をもち、いずれの極値についてもその絶対値は素数であるという。
このようなf(x)をすべて求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/03(木) 09:12:37.67

群の定義は
μ:G×G→G
ι:G→G
ε:G→G
という特殊な射
それと
Δ:G→G×G（Δ(g)=(g,g)）
1:G→G（1(g)=g）
という一般的な射
について
μ(μ×1)=μ(1×μ)
μ(ε×1)Δ=μ(1×ε)Δ=1
μ(ι×1)Δ=μ(1×ι)Δ=ε
が成立することで
部分群は
i:H⊂G
によってμ,ι,εがHに制限できること
というのがスマートよ

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/03(木) 14:37:18.08

>>982
c=-abc
c(1+ab)=0
c=0
a=-a-b
b=ab
b(1-a)=-2a(1-a)=0
(a,b,c)=(0,0,0)(1,-2,0)
ab=-1
(a,b)=(1,-1)(-1,1)
c=-2a-b=-1,1
(a,b,c)=(1,-1,-1)(-1,1,1)
-1=-1+1-1 OK
1=-1+1-1 NG
(a,b,c)=(0,0,0)(1,-2,0)(1,-1,-1)

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/03(木) 14:41:59.74

>>982
>(x-a)(x-b)(x-c)=0
これでいいのかな？
x=a,x=b,x=cを解に持つというのはこれらが解であることの意？
それとも解のすべてがちょうどx=a,x=b,x=cであるということ？
後者の解釈で解いているけれど
前者の解釈なら
a^3+a^3+ab+c=0
b^3+ab^2+b^2+c=0
c^3+ac^2+bc+c=0
から始めるべきでは無いだろうか

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/03(木) 14:52:29.77

c^3+ac^2+bc+c=0
より
c=0またはc^2+ac+b+1=0
c=0なら
a(2a^2+b)=0
b^2(b+a+1)=0
a=0または2a^2+b=0
b=0またはb+a+1=0
(a,b,c)=(0,0,0)が1つ出てきて
a≠0ならb=-2a^2≠0より
-2a^2+a+1=0
-(2a+1)(a-1)=0
よってa=1
(a,b,c)=(1,-2,0)も出てきて
c≠0なら
2a^3+ab+c=0
b^3+ab^2+b^2+c=0
c^2+ac+b+1=0
うーんもう少し変形できるけどこの先ドンドン面倒になりそう

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/03(木) 15:44:26.56

>>830

G を群とする。
#G = p^n とする。
すると、 Z(G) ≠ {e} が成り立つ。

このことを使って、 G はすべての i ∈ {0, 1, …, n} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つことを示せ。

---------------------------------------------------------------------------------

p を任意の素数とし、 #G = p^n とする。

n = 0, 1 のときには、明らかに、上の主張は成り立つ。

k ≧ 2 とする。

n = k - 1 のときには上の主張が成り立つと仮定する。

n = k の場合を考える。

Z(G) |

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/03(木) 15:55:53.73

>>830

G を群とする。
#G = p^n とする。
すると、 Z(G) ≠ {e} が成り立つ。

このことを使って、 G はすべての i ∈ {0, 1, …, n} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つことを示せ。

---------------------------------------------------------------------------------

p を任意の素数とし、 #G = p^n とする。

n = 0, 1 のときには、明らかに、上の主張は成り立つ。

k ≧ 2 とする。

n = k - 1 のときには上の主張が成り立つと仮定する。

n = k の場合を考える。

#Z(G) | #G = p^k かつ 1 < #Z(G) だから、 #Z(G) = p^l, l ≧ 1 である。
Z(G) はアーベル群であり、 p | #Z(G) だから、アーベル群に対するコーシーの定理により、位数が p である元 a を Z(G) は含む。

i ∈ {1, …, k} とする。
φ : G → G/<a> を標準的な全射準同型とする。
#(G/<a>) = p^{k-1} だから、帰納法の仮定により、 G/<a> は位数が p^{i-1} であるような部分群 H' を持つ。
群の対応定理により、 H := f^{-1}(H') と置くと、 H は G の部分群であり、

H/Ker φ = H' が成り立つ。

Ker φ = <a> だから、

H/<a> = H' が成り立つ。

#(H/<a>) = #H / #<a> = #H' = p^{i-1}
∴ #H = #<a> * p^{i-1} = p^i

以上より、 G は位数が p^i であるような部分群を持つ。

G は単位群を部分群に持つから、 i = 0 のときにも、 G は位数が p^i であるような部分群を持つ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/03(木) 16:45:31.29

>>986
a≠b≠c≠aなら
(x-a)(x-b)(x-c)となるから
>>985の考察からこうなるのは(a,b,c)=(1,-2,0)のみ
a=b=cなら
2a^3+a^2+a=0
a(2a^2+a+1)=0
より(a,b,c)=(0,0,0)のみ
あとはa,b,cのうち2つが等しい場合
a=b≠c≠0なら
2a^3+a^2+c=0
c^2+ac+a+1=0
(2a^3+a^2)^2-a(2a^3+a^2)+a+1=0
よりa=1,-1
(a,b,c)=(1,1,-3)(-1,-1,1)
(-3)^2-3+1+1=0 NG
1^2-1-1+1=0 OK
b≠a=c≠0なら
2a^2+b+1=0
2a^3+ab+a=a(2a^2+b+1)=0
b=-(2a^2+1)≠a=c≠0
b^3+ab^2+b^2+a=0
b^2(b+a+1)+a=0
(2a^2+1)^2(-2a^2+a)+a=0
(2a^2+1)^2(-2a+1)+1=0 NG
a≠b=c≠0なら
b^2+ab+b+1=(b+a+1)b+1=0
b=1,-1
(a,b,c)=(-3,1,1)(1,-1,-1)
2(-3)^3-3+1=0 NG
>>985より(1,-1,-1) OK
結局追加されるのは(a,b,c)=(-1,-1,1)の場合だけか

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/03(木) 23:32:10.11

矢野健太郎先生の「社会科学者のための基礎数学」で自習していますが、以下の証明問題がわかりません。

定理6.2 ベクトルa1,…,anが1次独立で、a1,…,an,bが1次従属ならば、bはa1,…,anの1次結合で表され、その表し方は一意的である。

定理6.3 定理6.2でb≠0ならば、a1,…,anのうち適当な一つをbで置き換えたn個のベクトルの組も1次独立である。

【問題】定理6.2 6.3 を証明せよ。

【途中までの回答】
a1,…,an,b が一次従属であるから、
x1 a1 + … + xn an + xb = 0
が全てが0でない係数について成り立つ。
このとき、x=0とすると、
x1 a1 + … + xn an = 0
が全てが0でない係数について成り立つことになり、a1,…,anが1次独立であることに反する。
よって、x≠0であり、
b = (- 1/x) (x1 a1 + … + xn an)
とかける。

# 定理6.2の前半までは証明できたと思うのですが、そこから先と6.3が分かりません。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/04(金) 00:14:07.37

f(x)=x^3+3x^2+2x+7を割り切る2次多項式で、係数（定数項も含める）がすべて正の実数であるものは存在するか。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/04(金) 00:56:30.17

f(-3)=1よりx<-3に解x=αを持つ
∴残り２解の和は正
∴f(x)/(x-α)の一次の係数は負

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/04(金) 11:46:19.07

定理6.2の後半
b=x1 a1 + … + xn an = y1 a1 + … + yn an とbが2通りで表せたとする。
(x1-y1) a1 + … + (xn-yn) an = 0
a1,… ,anは一次独立ゆえx1-y1 = 0,… ,xn-yn = 0
よってx1 = y1,… ,xn = yn
定理6.3の証明
b≠0なのでb = (- 1/x) (x1 a1 + … + xn an) と表したとき、、
x1,… ,xnの少なくとも１つは0でない。それをxn≠0とする。
aiをbで置き換えてz1 a1 + … + zi b + … + zn an = 0 (*)
左辺にbを代入
(z1-zix1/x)a1 + … + (-zixi/x)ai + … + (zn-zixn/x)an = 0
a1,… ,ai,… ,anは一次独立ゆえzixi = 0 xi≠0より zi = 0
(*)よりz1 a1 + … + zn an = 0
aiを除いたn-1個のベクトルも一次独立ゆえ
z1 = … = zn = 0　となり題意は成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/04(金) 11:48:05.56

>>994
訂正：それをxn≠0とする。→　それをxi≠0とする。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/04(金) 14:40:48.99

任意の実数cに対して
∫[c,2c] f(x)dx = ∫[2c,4c] f(x)dx
が成り立つとき、f(x)は周期関数でないことを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/04(金) 14:45:17.21

反例
f(x)=0

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/04(金) 14:45:19.48

>>996
恒等的に0は周期関数

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/04(金) 19:00:10.70

AがBの必要十分条件であるとき、AとBは同値であると言って良いですか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/04(金) 20:01:09.30

ええでえ

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