面白い問題おしえて～な 38問目

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/23(月) 19:46:20.60

(前スレ)
面白い問題おしえて～な 37問目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1624644393/

過去ログ(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/

過去スレ
1 //cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 //natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 //mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
4 //mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
5 //mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
6 //mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
7 //science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 //uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
30 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 18:02:46.18

>>706
なんかMなる集合に”ハウスドルフの距離”の意味で収束したとしてそれほんとに“区分的にC1”なんかになるん？
少なくとも
・像があるコンパクトな集合に収まってる
・全ての列は区分的にC1
の条件だけからではものすごい病的な集合に収束してしまう例ができるやろ
Mの存在を導出してる時点ではこれだけの仮定しかしてない
前回の距離、一次元のやつでは“長さ”が小さくなっていくから同程度連続性が保証されてほんとに“各点収束していく部分関数列”が取れた
今回の場合はXを“区分的にC1”とかしてる
もちろん現時点でMの支持関数が“区分的にC1”が示されてるわけでもないし、おそらく一般的にはなんか仮定ないとその“選出定理”だけを使ってもそんないい収束先に収束する保証なんかないやろ？
Xの条件緩めればMを収める事はできる事はできるかもしれんけど、そしたら今度はその空間でオイラーラグランジュが使えるのか問題が発生する
空間を狭めれば収束がおぼつかなくなり、空間を広げたら周はするがどんな病的な関数が紛れてくるか分からん
今のところ上がってるレス見ても解決策が示されてるとは思えん

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 18:28:32.64

>>707
その証明がまさに>>694だよ
Blaschkeの選出定理+BVのコンパクト性定理を用いればおk

χ_(M)∈BVが言えるのでMはいわゆる「Caccioppli set」になって、境界の面積は意味を持ちます

・面積汎関数が一様に有界
これも重要

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 18:29:14.52

ああ>>694では全変動をTVと書いてますがVのことです

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 18:45:19.70

>>708
>>694の二行目から三行目が分からん
ハウスドルフ距離って

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E8%B7%9D%E9%9B%A2

だよね？
そしてE(Un)はXの面積、つまりヤコビ行列式の絶対値の全積分値で、もしかしたらヤコビ行列の成分は各々めっちゃでかいかもしれない関数列、その関数列で定義された曲面の列のハウスドルフの距離の意味での“全変動”がE(Un)で抑えられんの？
XはS^2→R^3の区分的にC1である関数の空間でE(f)はfの面積だよね？
一次元の場合は
長さが小さくなる→全変動が小さいゲージが取れる
はほぼ自明だけど2次元の場合に
E(fn)が小さい→全変動が小さいゲージが取れる
は何故？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 18:46:59.63

>>710
E(U_n)はU_nの「境界の面積」だぞ
それは指示関数χ_(U_n)の全変動と一致する
(発散定理を使えばわかる)

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 18:48:04.45

>>710
＞ハウスドルフ距離の意味で全変動が抑えられる

これはなにか全変動を誤解してるぞ

全変動は「実数値」

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 18:49:06.30

>>710
あと空間Xも間違ってる

関数空間じゃなくて集合の集合

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 18:49:38.26

2^(R^3)の元と書いてます

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 18:59:33.19

ああでも関数じゃないのにC^1と表現するのがおかしいってことかな？

C^1多様体のコンパクト部分集合と、面積を持たない集合の可算和で書ける集合ということです

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 19:02:43.30

>>713
もうわけわからん
Xは関数空間ではないん？
区分的にC1な関数の空間じゃないの？
区分的にC1な部分空間？
じゃあその“全変動”なるものも”空間の全変動”なん？
なんなんそれ？
“空間の全変動”なるものがあるのなら知らなかった自分が不勉強なのも悪いかもしれんが、普通“全変動”つて言われたらまず“関数”の全変動って思うやろ？
でその定義はどこにあるん？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 19:04:20.46

>>716
ちがうちがう
色々誤解してるよ
空間の全変動じゃない

集合Aに対して、χ_Aというのは関数になるでしょ？

でそのχ_Aの全変動がAの境界の面積になるってことです

で空間Xは集合の集合で合ってます

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 19:56:33.60

>>717
いや関数の全変動にしたってじゃあR^3上の関数の全変動？
こんなんめっちゃマイナーやん？
こんなの聞いたことある人間の方が少ないやろ？
そんな概念なんの注釈も無しに持ち出されてわかるわけないやん？
でwikiによるとR^3上のC^1級関数について定義されるとあるけど、Xは区分的にC^1級の部分多様体にしてるんだよね？
じゃあその支持関数はC^1級ではないよね？
どうすんの？
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Total_variation
色々誤解してるって言ってるけど決して数学の世界で一般的でない、あるいは第一義的な一般的な意味とは違う意味で使われてる単語のオンパレードで正確に意味なんか取れるわけないやろ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 20:12:44.56

>>718
そのwikiのTotal variation for functions of n > 1 real variables
の部分をよく見てもらえばわかるけどfにはC^1を課してないよL^1だよ
微分を関数φに押し当てているイメージ

不連続な関数でも全変動は定義できうる

BVはこの手の「極小曲面の存在性」の議論ではよく使うんですが、たしかに慣れていない場合は前提知識色々必要で厳しいかも

>>678を見るにこういう議論には慣れていると思ったので

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 20:20:12.13

円錐曲線の焦点を通る任意の直線に対して交点と焦点を結ぶ２つの線分の調和平均は一定らしい

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 20:40:34.42

>>688
横からすまぬ。
幾何学的測度論入門みたいな話だろうとは思うが、素人には厳しい。

> 全変動のL^1収束に対する下半連続性
これがわからん。例えばどの本のどの定理見れば載っているとかある？
洋書でもかまわないので。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 20:46:47.53

>>721
L.C Evansの「Measure Theory and Fine Properties of Functions」のChapter5に詳しく書いてるよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 20:47:12.23

洋書で申し訳ない

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 20:47:43.06

>>720
極座標で考えたら自明だった

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 20:50:12.44

Chapter5のTheorem5.2(Lower semicontinuity of variation measure)
に証明が記載されています

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 20:56:12.23

>>687
2 ≧ |x| ≧ 1 - cosθ = 0.43562341144 の部分 (87.8341%) は球と一致する。
　V(out) = (2π/3)(2-cosθ)(1+cosθ)^2 = 7.3583723707

|x| < 1-cosθ の部分 (残り 12.1659%) は球を包含し
　V(in) = πa^2 = π(sinθ)^4 = 1.458998724
これは球の場合
　(2π/3)(2+cosθ)(1-cosθ)^2 = 1.01920804
の (3/2)(1+cosθ)^2 /(2+cosθ) = 1.43150237倍である。

全体では V = 8.8173710947 で、
球の体積 8π/3 の1.0524961461 倍

【小吉】 · 2021/10/01(金) 20:56:16.47

鉄球のかわりにおっぱいで実験。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 20:57:25.48

>>725
> Chapter5のTheorem5.2(Lower semicontinuity of variation measure)
> に証明が記載されています
Evansは手元にあるんでありがとう。
Theorem 5.2ですかね。

あと、wikipediaで
Blaschke selection theorem
見ると、凸性が仮定されているんだが、大丈夫なの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 20:59:53.96

>>728
おおその本持っているのか素晴らしい

Blaschkeの選出定理のwikiの「Alternate statements」の項にconvexを課していないcompactだけのステートメントがあります

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 21:06:48.05

イヤとりあえず定義普通にしたらいいだけの話

まずXは区分的にC^1な多様体の空間でいいん？
S^2からR^3への関数の空間ではないのね？
で、そのXにハウスドルフ距離なる距離なる距離を入れるのね
でX内の各要素Uにその通常の意味での面積を与えるのがE(U)でいいのね？
でE(Un)がinfEに収束する列Unをとる
するとハウスドルフ距離の意味での極限M=limUnが取れるのね？
でこのMもXにはいる、何故ならばX_Mの“全変動”がX_Unかなんかで評価できると
でそのX_UnはR^3上のC^1級関数に定義される全変動でいいのね
でX_UnはUnの支持関数χ_UnをR^3上の関数と見做した時の全変動なのね？
でもそこで話しが切れる
UnがR^3のC^1級部分空間でもその支持関数はもちろんC.^1級になんかならないよね？
連続ですらないんだから
じゃあ少なくともwikiには該当する全変動の定義は見当たらない
も少し後に測度論の全変動はあるけどそっちなん？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 21:08:39.56

>>730
>>719見ました？

普通に不連続な関数でも定義できうるんだよ
全変動は

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 21:08:49.79

>>729
ありがとう

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 21:10:10.23

測度論のほうの全変動じゃないよ
「Total variation for functions of n > 1 real variables」
のページの定義そのもの

supで動くφはC^1だけどf自身はC^1じゃなくてもいい
よく見て

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 21:13:57.23

>>731
おっと失礼
見逃した
あれ？
定義式に、div入ってたからC^1だと思った
でも今度はそれだと積分値はR^3の測度でとる事になる
C^1級部分多様体の支持関数f(x)がかかったら後に何入っても積分値0ちゃうん？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 21:18:28.45

>>734
Xの定義をよく見て
∂U、つまりUの「境界」が「ゼロ測度集合とC^1多様体のコンパクト集合の可算和」ということなので
U「そのもの」は中身が詰まってるよ

だからχ_Uの全変動はただちにゼロというわけじゃない

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 21:37:22.00

>>735
Xの定義はC^1級の部分空間じゃないの？
U_nがXに属するんじゃなくて∂UnがXに属するん？
じゃあXの各要素Sに対して∂Un=SとなるUnをとってその支持関数の全変動取るん？
それが元のSの面積で評価できるって事？
そんなの説明も無しに言われたって知ってるわけないやん？
もちろんWikiレベルにも載ってないし
何に載ってるの？
それそんな簡単に示せることなん？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 21:41:23.36

>>736
違うよ>>688の記述をもう一度見てほしい
ちゃんと書くと
X:={U ⊂ R^3 | O⊂ U ⊂ K, ∂UはC^1多様体のコンパクト集合とゼロ測度集合の可算和}
です XはU達の集合で、∂U(Uの境界)に対して「条件」が課されているということ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 21:42:50.58

χ_Uの全変動 = ∂Uの面積になる

これは発散定理から示せる

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 21:47:18.85

さっき挙げたEvansの本にも載っている

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 22:19:50.19

>>738
了解した
かなり技巧的な定義しまくってるな
でUnはR^nの閉部分集合でハウスドルフ距離の意味で収束するのは
Unなんやね？
でMとVと二つ出てるけどコレは途中で文字変えた？別物？
各n毎にE(∂Un) = ∂Unの面積にV(χ_Un)が等しくてUn→Mがハウスドルフ距離の意味で収束してるならV(χ_Un)はV(χ_M)に収束するん？
でもそれが収束すれば自動的に∂Mが区分的にC^1になってMはXに属するん？
つまり∂Uが区分的にC^1の曲面ならV(χ_U)は∂Uの面積に等しいはいいとしてUnの収束先のMにおいて
V(χ_M)が有限確定値なら∂Mは区分的にC^1になってV(χ_M)は∂Mの面積に一致するん？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 22:58:21.74

>>740
あーχ_Vは誤植ですね χ_Mでした

でV(χ_(U_n))はV(χ_M)に収束するとは限らない

>>688に書いてあるとおり、「下半連続性」は言える

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 22:59:32.20

BV(全変動有限の関数空間)のコンパクト性について記述してある>>694にあるけど
χ_M∈BVが示されて、このときMは「Caccioppli set」と呼ばれるものになって、∂Mは面積の意味を持つ集合になる

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 23:02:22.75

例えばこんな例はありえんの？
まず標準的なS^2を用意しておく
もちろんC^1
でもそこに可算無限個数の小さい“トゲ”をつけまくってC^1構造を持てなくしてしまう、しかしトゲを十分小さくとって“面積”を有限に抑えておく
コレをVとする
∂UnがC1となる閉集合と単調減少列をE(∂V) = lim E(∂Un)となるように取れる
この時ハウスドルフの意味でもUn→Vじゃないの？
どんな部分列とったってV以外には収束できない気がするんだけど？
でももちろんVはXには入らないやろ？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 23:06:42.49

>>743
トゲの部分が「2次元測度の意味でゼロ集合」の部分だよ

X:={U ⊂ R^3 | O⊂ U ⊂ K, ∂UはC^1多様体のコンパクト集合とゼロ測度集合の可算和}
です

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 23:23:10.61

>>744
だから測度0だろうがなんだろうが稠密部分集合でトゲが生えたら区分的にC^1どころか全ての点で可微分構造潰れるやん？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 06:12:15.84

>>745
滑らかな曲面にゼロ測度のトゲが沢山突き刺さっている状態でしょ？
上にも書いてある通り、「C^1多様体のコンパクト集合」と「ゼロ測度集合」たちからなる可算和
だよ
トゲ+滑らか曲面になっている

面積を測るとこのトゲの部分は死ぬから実質「+ 滑らか曲面」で考えればいいだけ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 06:14:46.88

もっと正確に言えば、Reduced boundary(トゲとかを除いた境界)を取れば、それが求めたい曲面になる

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 06:16:22.69

それともそもそも面積の定義とはなんぞやと言いたいってことかな？
面積は2次元のハウスドルフ測度と思えばいいよ

そうすればトゲがついていようがなんだろうが面積を測ることが出来る

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 07:23:16.89

>>724
(長)軸をx軸とし、焦点の１つを原点 (0,0) とする。
y軸との交点を (0, ±L) とすれば
　{(1-e^2)x + 2eL}x + y^2 = L^2,　(e≧0, L>0)
と表わせる。

これを極座標 r, θ で表わせば
　1/r = (1+e･cosθ)/L,

* 双曲線の場合は (0,±L) を通る枝です。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 10:59:43.24

>>748
イヤ、そんなところでオイラーラグランジュなんかできんやろ？
Mが得られた後そこから矛盾を導出するにはできた曲面上にR^3の３つの座標関数x,y,zをひきもどしてf,g,hとでもする
そのf,g,hを微小に変化させた時の極面積が0という条件こらf,g,hが満たすべきオイラーラグランジュ方程式が出てくる
それが最小値という流れ
しかし∂Mがトゲだらけで一点も微分可能な点がなければその極面積をf,g,hとその微分から得られた関数の積分で表示することができんやろ
そもそもそんなトゲだらけの曲面ではそもそも“位相多様体”の構造すらおぼつかない
そもそもこの話の作戦は

・lim ( Area of Sn) = inf ( Area of S )となる族をとる
・S=”lim Sn”を考える、一般には無理なのでlimSnが入るよう“曲面の空間”Xを“完備化”しだYの中で考える
・Sに対してオイラーラグランジュ方程式を適用して最小値求める

だけどそのためには話を広げたYの中でオイラーラグランジュ方程式が使えないと話が始まらない
曲線の場合、広げたソボレフ空間には微分もある、部分積分もできるから“積分核”さえ構成できればなんとかなった、そしてそれは作用積分のW^1上の連続性の問題に帰着された
しかし今回の場合はそもそも「Xがハウスドルフ距離に関して完備でlim Snも結局Xに属するから元のオイラーラグランジュがそのまま使える」かのような論法を使ってる
そんなん無理やろ単に曲面の面積が小さくなっていっているという条件ではlimSnはどんな病的な空間が出てくるかわからない、そしてそれがどんなに病的であろうとちゃんとオイラーラグランジュ理論は構成できてないとダメ
できるん？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 11:18:20.70

>>750
>>746見た？

あと、この手の問題だと
「まず」広い空間で解の存在を保証したあとに、その後で滑らかさを示すってのが一般的な手法だよ

通常の意味で微分出来るかどうかはまた別の次の段階の問題になる

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 11:56:32.24

>>751
見たけど滑らかさをどうやって示す？
まずもって難しいのは曲線の場合、あくまで曲線はゲージを固定してy=fn(x)の形で与えておいて、その極限曲線が結局limfi(x)の形で与えられた、それはもちろん各点収束の位相ではないから通常の関数ではないけど、少なくとも“関数”でその“長さ”も汎関数積分で定義されるものの範囲で収まってた
今回の場合は空間Xをゲージも固定されてない部分集合の形でとってる
という事はその極限Mもどんな病的な関数かわからないし拡張された極面積χ_(μ_∂M)を作用積分の形で表示できる保証はない、今回の場合は∂M = { (x,y,f(x,y)) }のような局所表示ができるのかから怪しい
もちろん曲線の場合でも得られた“極限関数”は場合によっては超関数的なものになったけど、しかしそれでも“汎関数積分”の形は保たれてた、関数空間での極限だから
しかし今回はまずそこから始めないといけない
元のXとそのXで定義された曲面積Eをハウスドルフ距離の意味で連続に拡張してχ_(μ_M))とするのはいいとしてそれがMで最小とする
この汎関数はもちろん作用積分の形で表されてるものではなくてwikiに載ってる複雑な形で与えられるものになってしまう
そこで“Mを(あるいは∂M)を微小に変化させたら時の汎関数値の変分”なるものはできるん？
少なくとも“無限個のトゲ”の例でもあるように通常の意味では微分などできないしそもそも局所的にz=f(x,y)という表示すら(超関数を許しても)できてるわけでもない
そもそもχ_(μ_M)が有限確定値という情報だけでは∂Mには位相多様体の構造が入るかすら怪しいやろ？
まぁオイラーラグランジュ理論が使えるのならそんな構造いらんっちゃいらんけど
「Mがχ_(μ_M)の最小値を与えるR^3の閉部分集合とする」
の次の行からの議論はどうなってるん？
そこから
「∴ Mは局所的にy^2+z^2≦(p cosh(x/p))^2の形の閉集合」
という結論出すまでの議論はどうなってるん？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 12:07:33.08

>>752
いや少なくとも得られたMは「Caccioppoli set」といって測度的にはまともに扱える集合にはなっている
病的ではない

V(χ_A) = P(A)として、Pの変分(f_t∈C^∞をf_0 = idなるdiffeoとして、P(f_t(A))のt微分を考える)から「一般化された平均曲率が0」であることを導くことができる

First variation of perimeter
とかで調べれば証明も出る

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 12:08:05.22

なにも変分は積分形のオイラーラグランジュだけではない

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 12:20:24.45

あとχ_Mという関数はBV関数、もっといえばL^1関数の意味になっているから「ほとんど全て一致」ならイコールになる空間(ほとんど全て一致を同値類として割っている)
だからMにトゲがあろうと測度ゼロだから
トゲのないMの指示関数とL^1の中では一致していてイコールになっている

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 12:25:20.72

>>753
もちろんなんでもかでも出てくるわけでない事は承知してるよ
オイラーラグランジュ理論出なくてもなんでもいいから
「Mがχ_(μ_M)の最小値を与えるR^3の閉部分集合とする」
と
「∴ Mは局所的にy^2+z^2≦(p cosh(x/p))^2の形の閉集合」
の間を埋めてほしいと言ってるだけ
ここまだ相当むずいやろ？
普通のオイラーラグランジュは少なくともストレートには使えないんだから

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 12:31:38.04

>>756
そうだね、とりあえず最小化を達成する曲面の「存在」は少なくとも示すことは出来る
それは>>682でも書いたこと

そこから今回の鉄球二つの方程式につなげるのはまだギャップあるね

というのも今回は障害物が中にあるタイプの問題なので
球面上で張り付いている部分は平均曲率はゼロじゃない

でも例えば「与えられた滑らかな輪っかを境界に持つ曲面の面積の最小化」とかなら>>753で書いたFirst variation of perimeter の手法で平均曲率ゼロは示せるよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 12:34:37.02

>>757
とりあえず平均曲率0の証明あげてください

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 12:35:22.64

>>758
First variation of perimeter で調べれば出るはず
ここで書くのはさすがにしんどい

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 14:09:04.48

>>759
グクって出てきた情報ナナメ読みした範囲だと通常の意味でのdivに対応するものとかが定義できて、その全積分値的なものを拡張できるみたいな形の定理はいくつか見つかるな
それで
曲面の変分＝∫平均曲率×変分dS
的なものが言える感じかな？(ガウスの定理のCaccioppoli set版)
さてさてソボレフ空間に拡張した常微分方程式については解の一意性定理も自然に拡張されて、結局その方程式を満たす曲線は通常の意味での曲線で見つかるんだから終わり、で話しがすんだけどコッチはいけるんかねぇ？
今回の場合は鉄球との境目の関数を端点条件として固定した範囲で各境界条件固定する事に定まる“平均曲率0曲面”が”必ず通常の関数の範囲で解を持つか”になる
持ちそうではあるけど偏微分方程式論なんか学部で勉強した範囲でしか知らんから分からんな
explicitな表示は無理にしても存在性と一意性くらいは解決しそうではあるけど
まぁそもそもまだwikiのCaccioppoli setの項をさらっと流し読みしただけだからなんとも言えんな

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 15:07:28.72

>>760
残念ながら一般には境界が与えられていても平均曲率=0の一意性は言えないです

カテノイドの場合でも二種類の不安定なカテノイド、安定なカテノイドが出るケースがある

例えばこの画像の二つのカテナリーはどちらもy=a cos(x/a)
https://i.imgur.com/9IVdqyf.jpg
https://i.imgur.com/7xGUDy8.jpg
という形をしていて、回転体の平均曲率はどちらもゼロなんだけど同じ境界(-2,4),(2,4)を持っている場合があります

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 15:35:37.78

ああでもそうか普通に障害物が曲面の中にあるとかじゃなくて、鉄球上の曲線を境界と思って極小曲面の問題を解けばいいのか
だとしたらもっと簡単に存在定理を示す方法はあります

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 15:38:38.76

>>761
じゃあまた話はさらに難しくなってるんやな
例えば今回の場合、オイラーラグランジュから必要性を追いかけて
「y = p cosh( ( x-q) / p )なる形になる事が必要」を導出しなくても常微分方程式の解の一意性からこの形の解が解の全体まで言えてしまうけど、回転体が仮定できない場合、境界条件で解が決まらないなら変な境界条件下では「最小値をとる解は通常の関数の範囲では見つからない」という可能性も残ってしまう
まぁ+αの必要条件を吟味したら回避はできそうだけど
しかし俺的にはまだCaccioppoli set上の解析学で面積最小の条件から拡張された意味でのオイラーラグランジュが導出できない段階やからそれ以前の話しやけど

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 15:39:46.05

>>762
kesk

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 15:50:18.50

と思ったけど「球面にへばりつく」という条件にしていいのはそもそも解の存在が保証されている状態で出来る議論だから下手したら循環になるか

>>764
話が怪しくはなったけど境界が固定されている極小曲面の話ならこの資料に詳しく書いてあるので良かったらどうぞ
https://www.jst.go.jp/crest/math/ja/suugakujuku/archive/text/3_Koiso_text.pdf

複素平面を使って極小曲面と調和写像を対応させる方法です

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 15:55:14.15

>>765
thx
まぁまずとりあえずCaccioppoli set上で変分原理使って平均曲率0導出するところ理解するとこがそもそもわかってないからな
コレはEvansの教科書には載ってるのね
暇できたら冬休みでも挑戦してみようかな？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 16:01:00.74

>>766
それは残念ながらEvansには載ってないよ
これも洋書で悪いんだけど
「Sets of Finite Perimeter and Geometric Variational Problems」のp.200～
First variation of perimeter and mean curvature
のセクションに詳しく載ってます

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 18:13:28.39

>>767
thx
まぁこのレベルの話日本語の教科書期待しませんw
もう洋書嫌がる時代は終わってるw

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/10/04(月) 05:32:51.72

前>>669
でも7.6πよりも7π、7πよりも20π/3のほうが表面積小さいよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 08:34:20.28

>>769
>>664
三つ目の球を回転させた回転面の表面積の計算がそもそも間違っている4π*(2/3)にはならない

あと球にへばりついている部分は240°分の角度でへばりついているから表面積は2π+2πではない

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 09:24:18.08

球面の場合は ⊿S = 2π(半径)⊿x,
本問では (半径)=1,
240°分の角度でへばりついているから
　⊿x = 3/2,
　⊿S = 3π
∴　S = 2{3π + (5/6)π} = (23/3)π = 7.666…π
これは >>671 の値 7.6204645π より僅かながら大きい。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 09:58:51.37

>>664
真ん中を円柱形にするのは面白いアイデア。
へばり付いている角度を 2(π-θ) とすると
　⊿x = 1+cosθ,
　⊿S = 2π(1+cosθ),
その間を半径sinθ の円筒でつなぐと
　S = 4π{1+cosθ + sinθ(1-cosθ)}
　　= 2π{4 - (cosθ+sinθ-1)^2}
　　≧ 2π{4 - (√2 -1)^2}
　　= 2π(1+2√2)
　　= 7.65685425π
θ=45°のとき (23/3)π より小さくなる。

しかし θ=60°に固定すると
　(6+√3)π = 7.73205081π > (23/3)π.

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 10:40:19.43

ユークリッド平面上の、ある有限個の点集合 P は次を満たす：
(1) P に属する点の個数は３つ以上
(2) P に属するどの二点も、異なるx座標を持つ

点集合 P を最小二乗法により一次式で近似した時、その直線の傾きは正になった。
この時、P から適切に一点を取り除いて、
その集合を最小二乗法により一次式で近似した時の傾きを正にすることは可能か。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 10:51:09.33

>>772
>真ん中を円柱形にするのは面白いアイデア。

「曲率が連続な閉曲面」という縛りを解くと、カテナリー曲線が最小面積を与えるとは限らないの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 10:52:52.72

当たり前に見えるが・・・

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 11:09:10.11

イヤ、23π/3≒7.6666...πよりすら大きいって言ってるんやろ
カテナリーのやつは>>671を信じると7.6204..πらしいからそれを下回ってる解は見つかってない
出題者の持ってた解法も数学的にはまだ怪しいけど結論は正しいだろうからコレが最小値は正しいやろな

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 11:29:11.61

２球の距離によるのでは？
カテナリー曲線のは、距離が離れるほど表面積も大きくなるよね？
でも、２球を細い管で結んだ閉曲面だと、「球面×２」より大きくなることは無さげ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 11:32:18.19

というかそもそも本当に回転対称なのか？
回転対称にするとカテナリーだけになるけど
回転対称をはずせばもっと平均曲率0曲面はたくさんあるだろ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 12:01:48.69

>>777
>>778
浮いてる部分は平均曲率0は上の方の議論が正しければほぼ間違いない、ただし残念ながら出題者の解答にはまだギャップがあって埋められるかどうかは未確認だけどおそらく埋められるやろ
問題は回転対称性のとこやな
そこは今のところ“当然最小解は回転対称性持つやろ”から始まってるレスしかない
どやろね

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 12:14:30.14

>>773
不可能
(0,1),(1,0),(2,2)で(2,2)取り除く

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 12:38:06.27

>>777
なんで細い管をカテナリーにしようと思わないの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 12:43:12.82

>>781
いやいやどんなカテナリーでもいいわけじゃないでしょ
y=a*cosh(x/a)の形限定
ある程度球体が離れたら管というか線の方が小さくなるのは間違いない

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 12:58:02.14

>>782
そっか、ある程度離れるとカテナリーはダメなのね

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 14:29:15.72

>>773
Pはn個の点Piを含むとし、
　Pi (xi, yi)　　(i=1,2,…,n)
　x。= (1/n)Σ[i=1~n] xi
　y。= (1/n)Σ[i=1~n] yi
とおく。
最小二乗法により一次式で近似したときの傾きは
　Σ[i=1~n] (xi-x。)(yi-y。) / Σ[j=1~n] (xj-x。)^2
分母はつねに正だから、分子に注目する。
もし (xi-x。)(yi-y。) ≦0 となるPiがあれば、そのPiを取り除く。
このとき傾きは増加する。
すべてのPi について (xi-x。)(yi-y。) >0 なら、どのPiを取り除いても、
傾き>0 のままである。 (終)

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 14:37:43.90

あ、問題読み間違えてたわ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 14:40:27.06

>>784
取り除くとx。やy。も変わるから一応そこの検証も必要じゃないか

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 14:49:18.80

そもそも問題文メチャクチャやけどな

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 15:34:44.11

>>784

>>786のご指摘の通り x や y の平均が変化する可能性があるからまだ正解は出せないけど、
答えが「可能」というのは合ってるので、よければもう少し考えてみてください

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 15:38:41.36

>>773
点がすべて第1象限に含まれる場合はどうなるんだこれ？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 15:47:34.39

>>786
　(xk-x。)(yk-y。) ≦ 0 となる点Pk(xk,yk) を取り除いた n-1個の平均を
　x'。= x。 - (xk - x。)/(n-1),
　y'。= y。 - (yk - y。)/(n-1),
とおけば
Σ[i≠k] (xi - x'。)(yi - y'。) - Σ[i=1,n] (xi - x。)(yk - y。)
　= Σ[i≠k] xi･yi - (n-1)x'。y'。- Σ[i=1,n] xi･yi + n x。y。
　= - xk･yk - (n-1)x'。y'。+ n x。y。
　= - (n/(n-1))(xk - x。)(yk - y。)
　≧ 0,　　(増加)

すべてのPi について (xi - x。)(yi - y。) >0 ならば
　xi>x。　yi>y。なる Pi と
　xj<x。　yj<y。なる Pj が
残るようにする。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 18:46:46.60

次の条件を満たす関数f(x)が、存在すればその関数を求め、存在しなければそれを示せ．

(1) 実数全体で微分可能
(2) x≠0 なる任意の実数 x に対して x^2 f’(x)＝f(x)
(3) f(1)＝1

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 18:59:23.40

>>791
aを実定数としてx≠0において定義された関数

y = exp(-1/x+1 ) (x>0)
y = a exp(-1/x) (x<0)

を考えればコレらは与式を満たす
さらに与式は局所リプシッツ条件を満たす方程式だから上記がx≠0において与式を満たす解の全体である
しかしaに何を選んでもx=0に連続に拡張する事はできない
∴ 解なし

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 19:58:39.50

>>772
真ん中を回転双曲面にすると…
球面にへばり付いた部分を　|x| > 1-c　　　　(0<c<1)
とし、その間を回転双曲面
　yy + zz = (1-c) + (c/(1-c))xx,
でつなぎます。
　r ' = dr/dx = (c/(1-c))x/r,
　∫[0,1-c] 2πr･√(1+r'r')
　= (2π/(1-c))∫[0,1-c] √{(1-c)^3 + cxx} dx
　= π(1-c){1 + (1-c)arctanh(√c)/√c},
S(c) = 4π(1+c) + 2π(1-c){1 + (1-c)arctanh(√c)/√c},
c= 0.54020577 のとき最小　S(c) = 7.620877876805813π
>>671 の 7.6204645 より僅かに大きい。
(c = cosθ　とすると　θ = 1.00011472 = 57.3023524°)

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 20:04:31.97

>>792
間違えてますな

あとリプシツ条件とか使わなくても高校の範囲で解ける

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 20:07:04.49

>>794
大先生
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2y%27+%3D+y&;lang=ja

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 20:07:54.83

だれか鉄球2つにシャボン液つけて実験してよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 20:18:12.81

一葉双曲面ともいう。。。
(神戸ポートタワーは大規模改修に入った。
2023年夏に完成の予定)

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 20:20:02.65

どうせ実験してもカテナリーの回転体になるよ
数学的に厳密な証明が見つからないだけで
そんな問題山のようにあるよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 20:33:35.06

>>791
y = exp(-1/x+1 )　(x>0)
　= 0　　　　　(x<0)
無限回微分可能(C^∞)だけど解析的(C^ω)ではない。
人呼んで「アーレニウスの式」

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/10/04(月) 20:49:35.87

前>>769
いや俺の答えが正しいよ。20π/3の方が小さいじゃん
これが正解だよ。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/10/04(月) 21:13:21.60

前>>769
>>636
円弧の回転体である球面よりは、
サインカーブの回転体のほうが、
7.62πより小さくなるとしたら、
可能性がありそうだね。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/04(月) 21:24:20.03

>>799
おっとしまった
lim→+0の方は0か

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/10/04(月) 23:33:04.92

前>>801暫定一位。
>>636
x＞0側の玉についてxy平面上の断面である円、
(x-1)^2+y^2=1を描き、
ラップの断面のグラフを、
y=sinxをx軸方向にπ/2,y軸方向に1/2圧縮し、
y方向に1/2おっきしたグラフ、
y=(1/2)sin(πx/2)+1/2を-1≦x≦1だけ描き、
0≦x≦1の部分だけをx軸のまわりに360°回転させると、
表面積S1は、
S1=∫[t=0→1]2π｛(1/2)sin(πt/2)+1/2｝dt
=∫[t=0→1]π｛sin(πt/2)+1｝dt
=[t=0→1][πt-2cos(πt/2)]
=π-(-2)
=π+2
ラップの表面積の合計Sは、
S=2π+(π+2)+(π+2)+2π
=6π+4
=22.8495559215……

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/05(火) 00:17:01.21

>>803
不正解

まずそもそもsinカーブが球体に被ってしまう
「包み込む」という条件に反する

それと表面積を計算する積分が完全に間違えている

y=f(x)の表面積は
∫2πf(x)dx
ではない

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/05(火) 00:19:47.72

>>804
y=f(x)の表面積→ y=f(x)の回転体の表面積

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/05(火) 00:21:28.59

あとブログに勝手に載せないでください
https://ameblo.jp/inajimax/entry-12701764205.html