ガロア第一論文及びその関連の資料スレ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/12(金) 09:53:13.32

このスレは、ガロア第一論文及びその関連の資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論まで）

ガロア第一論文について語りたい人は、下記へ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1553954860/1-
ガロア第一論文について語るスレ

資料としては、まずはこれ
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む
渡部一己著（2018.1.28）
PDF
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0

あと、順次

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/05(日) 16:28:40.77

>>197 追加
保形形式：automorphic form

形式：form は、良いでしょう
（例 cusp form 数論では、カスプ形式(cusp form)、もしくは尖点形式とは、フーリエ級数展開の定数項が 0 である特別なモジュラー形式のことを言う。
　https://ejje.weblio.jp/content/cusp+form ）

automorphic：ja.wikipedia 保型因子より、群 G が複素解析多様体 X に作用しているとき
”群 G の作用に関して
f(g.x)=j_{g}(x)f(x)
なる関係を満たすことを言う。ただし、jg(x) は至る所零でない正則函数とする。”

automorphicとは、辞書では「自形」
（接頭辞 auto- は、「自身」を意味する）
f(x)という関数形が、右辺に残る意味（保形ね）

(参考)
https://ejje.weblio.jp/content/automorphic
automorphic
日英・英日専門用語辞書での「automorphic」の意味
automorphic
自形の，自形

http://gogengo.me/roots/537
接頭辞 auto- 　Gogengo! - 英単語は語源でたのしく
「自身」を意味します。
ギリシャ語 autos が由来です。

Wiktionary英語版での「automorphic」の意味
automorphic
形容詞
automorphic (not comparable)
3.(mathematics) Of or pertaining to automorphy or an automorphism

「automorphic」の意味に関連した用語
1 保形函数 (英和専門語辞典) automorphic function
2 保形形式 (英和専門語辞典) automorphic form
4 保形関数 (英和専門語辞典) automorphic function
7 自形の (日英・英日専門用語) euhedral，automorphic，idiomorphic
10 モジュラー形式の保型因子 (英和対訳) Automorphic factor

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/05(日) 16:29:09.14

>>233
つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Automorphic_function
Automorphic function
In mathematics, an automorphic function is a function on a space that is invariant under the action of some group, in other words a function on the quotient space. Often the space is a complex manifold and the group is a discrete group.

Factor of automorphy
A function
f is termed an automorphic form if the following holds:
f(g.x)=j_{g}(x)f(x)
j_{g}(x) is an everywhere nonzero holomorphic function.
Equivalently, an automorphic form is a function whose divisor is invariant under the action of G.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E3%81%AE%E4%BF%9D%E5%9E%8B%E5%9B%A0%E5%AD%90
モジュラー形式の保型因子
モジュラー形式論に現れる保型因子（ほけいいんし、英: automorphic factor）は SL(2, R) 上で定義されるある種の解析函数である。さらに一般の群に対する議論は保型因子の項に譲る。
以下略

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BF%9D%E5%9E%8B%E5%9B%A0%E5%AD%90
保型因子
定義
群 G が複素解析多様体 X に作用しているものとすると、この群 G は X 上の複素数値正則函数全体の成す空間にも作用する。このような函数 f が保型形式であるとは、群 G の作用に関して
f(g.x)=j_{g}(x)f(x)
なる関係を満たすことを言う。ただし、jg(x) は至る所零でない正則函数とする。これは、保型形式は G の作用のもとで不変となる成分 (divisor) を持つような函数であるというように述べることもできる。
保型形式 f の保型因子とはこのような函数 j のことである。また、保型函数 (automorphic function) とは、その保型因子 j が常に 1 であるような保型形式をいう。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/05(日) 16:29:39.59

>>234
つづき

性質
保型因子に関していくつかの事実が成り立つ。

・任意の保型因子は、至る所零でない正則函数全体の成す乗法群への G の作用に関する 1-双対輪体である。
・保型因子が双対境界輪体となることと、それが至る所零でない保型形式の保型因子として得られることとは同値である。
・与えられた保型因子に対して、それを保型因子に持つ保型形式の全体はベクトル空間を成す。
・二つの保型形式の点ごとの積は、それら二つの保型形式の保型因子の積を保型因子として持つ保型形式となる。

関連する概念
保型因子とその他の概念の間の関係として、以下のようなものが挙げられる。

・Γ がリー群 G 内の格子群であるとき、Γ に対する保型因子は、商リー群 G/Γ 上の直線束に対応する。さらに、与えられた保型因子に対する保型形式は対応する直線束の切断に対応する。
・Γ が SL(2, R) の部分群で上半平面に作用している場合に特殊化した議論はモジュラー形式の保型因子の項に譲る。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BF%9D%E5%9E%8B%E5%BD%A2%E5%BC%8F
保型形式

調和解析や数論において、保型形式（ほけいけいしき、英: automorphic form）は、位相群 G 上で定義された複素数（あるいは複素ベクトル空間）値の函数で、離散部分群 Γ ⊂ G の作用の下に不変なものである。保型形式は、ユークリッド空間における周期函数（これは離散位相群としての 1 次元トーラス上の函数と見なされる）を、一般の位相群に対して一般化したものである。

モジュラー形式は、モジュラー群あるいは合同部分群（英語版）のひとつを離散部分群として持つ SL2(R)（特殊線型群）や PSL2(R)（射影特殊線型群）の上に定義された保型形式である。この意味では、保型形式の理論はモジュラー形式の理論の拡張である。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/05(日) 16:30:01.46

>>235
つづき

アンリ・ポアンカレ (Henri_Poincare) は、三角函数や楕円函数の一般化として、最初に保型形式を発見した。ラングランズ予想を通して、保型形式は現代の数論で重要な役割を果たす[1]。

定式化
保型形式の定式化に当たっては、Γ に対する一般的な意味での保型因子（群コホモロジーの言葉で言えば 1-コサイクルの一種）j が必要である。j は複素数値（あるいは一般にベクトル値の保型形式を考える場合にはそれに応じて複素正方行列値）の函数である。保型因子に課されるコサイクル条件は、j がヤコビ行列から導かれる場合には連鎖律を用いて機械的に確認することができる。

歴史
（1960年ごろに）この非常に一般な状況が提示される以前に、モジュラー形式以外の保型形式は既に十分研究されていた。Γ がフックス群（英語版）である場合は、1900年よりも前に既に知られていた（後述）。ヒルベルト・モジュラー形式（英語版）（あるいはヒルベルト-ブルメンタル形式と呼ばれることもある）がその後まもなく提唱されたが、その完全な理論は長らく得られなかった。ジーゲル・モジュラー形式（英語版）は G がシンプレクティック群の場合で、モジュライ空間とテータ函数から自然に生じるものである。戦後、多変数函数論における興味から自然に、それらの形式がいつ複素解析的になるかといったところから保型形式の概念が追求されていった。そのような理論の構築に関して、1960年ごろの数年で、多くの仕事が特にイリヤ・ピアテツキー＝シャピロによって成された。セルバーグ跡公式の理論がたくさんの応用を持つなど、この理論が相当深いものであることが窺い知れる。ロバート・ラングランズはリーマン・ロッホの定理を保型形式の次元の計算に応用することができる方法を（特定の場合については多くの場合が知られていたが、そうではなく一般に）示した。これは概念の有効性についての「ポスト・ホック」な確認の一種である。ラングランズは（この問題に対する、スペクトル論の言葉で言えば「連続スペクトル」であるところのものに対応する）アイゼンシュタイン級数の尖点形式あるいは離散部分の吟味を除く一般論も導入している。数論の観点からは、シュリニヴァーサ・ラマヌジャン以降、尖点形式は問題の核心であると理解されている。
(引用終り)
以上