>>301
>(区間の上端点−区間の下端点)の列の一般項は1/10^kであるから極限は0、すなわちこの区間列はある実数に収束する。

ここ
すなわちこの区間列はある実数に収束する。
　　↓
すなわちこの区間列は有理コーシー列を成す。
じゃないかな？

>この実数がr以外であれば区間の取り方と矛盾するから

ここ
一言で済ませているが、「何がどう矛盾するのか？」を言わないとゴマカシでしょ
だから、下記のように、あくまで”有理コーシー列”だけで話を済ませるべきと思う

>rは10進無限小数 0 . n1 n2 … で表すことができる。

ここ
”10進無限小数 0 . n1 n2 … は、有理コーシー列を成し、rに収束する
　実数の定義より、10進無限小数 0 . n1 n2 … は、実数ｒを表す"
じゃないかな？